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Dois triângulos são semelhantes se podemos encontrar uma correspondência entre eles que relaciona ângulos iguais e lados proporcionais. Por exemplo, na figura a seguir

$ \angle A = \angle D $

$ \angle B = \angle E $

$ \angle C = \angle F $

$ \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=k. $

Semelhança de Triângulos

Nesta definição, $ k $ é chamado de razão de semelhança (ou razão de proporcionalidade) entre os triângulos.

Nela existiu uma correspondência entre os vértices $ A,B $ e $ C $ com $ D,E $ e $ F $, respectivamente. É interessante que escrevamos a semelhança na ordem da correspondência dos vértices, ou seja, que $ ABC $ é semelhante a $ DEF $. Podemos escrever isto da seguinte maneira: $ \triangle\,ABC\sim\triangle\,DEF $.

Podemos ver a congruência de triângulos como uma semelhança com razão de semelhança igual a $ 1 $.

Quando Procurar Por SemelhançasEditar

  • Quando um ou mais ângulos aparecem mais de uma vez na figura.
  • Quando temos alguma proporcionalidade entre os lados.

Caso $ AA $ (Ângulo, Ângulo)Editar

Sejam $ ABC $ e $ DEF $ triângulos tais que $ \angle A= \angle D $ e $ \angle B= \angle E $. Então os triângulos $ ABC $ e $ DEF $ são semelhantes pelo caso $ AA $.

Caso AA de semelhança

Caso $ LAL $ (Lado, Ângulo, Lado) Editar

Sejam $ ABC $ e $ DEF $ triângulos tais que $ \angle A= \angle D $ e $ \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF} $. Então os triângulos $ ABC $ e $ DEF $ são semelhantes pelo caso $ LAL $.

Caso LAL de semelhança

Caso $ LLL $ (Lado, Lado, Lado)Editar

Se $ \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD} $, então os triângulos $ ABC $ e $ DEF $ são semelhantes pelo caso $ LLL $.

Caso LLL de semelhança

Como Identificar Semelhanças por Paralelismos Editar

Seja $ ABC $ um triângulo, $ D $ e $ E $ pontos sobre os segmentos $ AB $ e $ AC $, respectivamente. Se $ DE $ é paralelo a $ BC $, então os triângulos $ ABC $ e $ ADE $ são semelhantes.

Observação Editar

Se dois triângulos são semelhantes, os segmentos correspondentes são proporcionais. Por exemplo, alturas, bissetrizes, medianas etc.

Exemplo (OBM 2004 - 3ª Fase - Nível 2) Editar

OBM2004q1n2

Na figura $ ABC $ e $ DAE $ são triângulos isósceles ($ AB=AC=AD=DE $) e os ângulos $ BAC $ e $ ADE $ medem $ 36^{\circ} $.

(a) Utilizando propriedades geométricas, calcule a medida do ângulo $ \angle EDC $.

(b) Sabendo que $ BC=2 $, calcule a medida do segmento $ DC $.

(c) Calcule a medida do segmento $ AC $.

Solução:

(a) Queremos mexer com ângulos e aparecem vários triângulos isósceles. Como podemos prosseguir? Uma estratégia legal é usar o Teorema do Triângulo Isósceles. Como $ ADE $ é isósceles de base $ AE $, segue que $ \angle DAE=\angle DEA = \frac{180-36}{2}=72^{\circ} $, de onde segue que, $ \angle DAC=36^{\circ} $.

Além disso, $ ADC $ é isósceles de base $ CD $ e assim $ \angle ADC=\angle ACD = \frac{180-36}{2}=72^{\circ} $.

Desta forma, $ \angle EDC=36^{\circ} $.

(b) Seja $ F $ o ponto de encontro dos segmentos $ AC $ e $ DE $. Se aplicarmos o Teorema do Ângulo Externo no triângulo $ ADF $, veremos que $ \angle DFC=72^{\circ} $. Além disso, $ \angle DCF=72^{\circ} $. Logo, pela recíproca do Teorema do Triângulo Isósceles, $ DC=DF $. Desta forma, basta calcularmos $ DF $ para concluirmos o problema.

Porém $ ADF $ é um triângulo isósceles de base $ AD $, de onde segue que $ DF=AF $. Podemos perceber que $ \angle AEF=\angle AFE $. Logo, $ AF=AE $.

E como calculamos $ AE $? Como algumas medidas de ângulos e de lados aparecem várias vezes na figura, é interessante procurarmos alguma congruência. Basta vermos que $ ABC $ e $ DAE $ são congruentes pelo caso $ LAL $ e assim $ AE=2 $. Logo, $ DC=2 $.

(c) Considere $ x=AC $. Pelo enunciado, $ x=AB=AD=DE $. Como vários ângulos se repetem, é interessante procurarmos uma semelhança (de preferência que envolva $ AC $). Observe que $ ACD $ é um triângulo que envolve $ AC $ e seus ângulos são $ 36^{\circ} $, $ 72^{\circ} $ e $ 72^{\circ} $. Existem algum outro triângulo com esses ângulos? Sim: $ AFE $. Desta forma, esses dois triângulos são semelhantes e com isso,

$ \frac{AF}{AC}=\frac{FE}{CD} \Leftrightarrow \frac{2}{x}=\frac{FE}{2} \Leftrightarrow FE=\frac{4}{x}. $

E qual a vantagem de termos descoberto isso? Observe que $ DE=x $ e $ DF=2 $. Logo, o $ FE $ pode ser calculado de outra maneira em função de $ x $:

$ FE=DE-DF=x-2 $.

Se compararmos os resultados obtidos:

$ x-2=\frac{4}{x} \Leftrightarrow x^2-2x-4=0 \Leftrightarrow x=1 \pm \sqrt{5}. $

Como $ x $ é positivo, segue que $ x=1+\sqrt{5} $.

Como Usar a Semelhança Para Encontrarmos Outros Ângulos Editar

  • Sejam $ ABC $ e $ DEF $ triângulos semelhantes, $ M $ e $ N $ pontos médios de $ BC $ e $ EF $, respectivamente. Então $ \angle AMC = \angle DNF $.

Como Encontrarmos Congruência se Tivermos Semelhança? Editar

Sejam dois triângulos semelhantes. Se os raios das suas circunferências circunscritas são iguais, então os triângulos são congruentes.

Relações Métricas em um Triângulo Retângulo Editar

Seja $ ABC $ um triângulo retângulo em $ A $ com $ a=BC $, $ b=CA $ e $ c=AB $. Considere $ AH $ a altura relativa a $ BC $ de tal forma que $ h=AH $, $ m=BH $ e $ n=CH $. Então

$ b^2=an $

$ c^2=am $

$ h^2=mn. $

Áreas e Semelhança de Triângulos Editar

Se a razão de semelhança entre duas figuras é $ k $, então a razão entre suas áreas é $ k^2 $.

Exemplo (Cone Sul 2008)Editar

Seja $ ABC $ um triângulo, $ P $ um ponto em seu interior e $ X $, $ Y $ e $ Z $ pontos em $ BC $, $ AC $ e $ AB $ respectivamente tais que $ \angle PZB = \angle PXC = \angle PYA $. Considere os pontos $ U $, $ V $ e $ W $ sobre $ BC,AC $ e $ AB $ (ou seus prolongamentos, se necessário) tais que $ PV=2PY $; $ PU=2PX $ e $ PW=2PZ $. Sabendo que a área de $ XYZ $ é $ 1 $, calcule a área de $ UVW $.

Solução: Este problema tem segmentos que possuem o dobro das medidas de outros. Além disso, existem ângulos de mesma medida. Isso tem muito cheiro de semelhança de triângulos.

Se conseguirmos mostrar que os triângulos $ XYZ $ e $ UVW $ são semelhantes e soubermos a razão de semelhança, então conseguimos calcular a área de $ UVW $.

Quais semelhanças conseguimos? Observe que, pelo enunciado,

$ \frac{PY}{PV}=\frac{PZ}{PW}=\frac{1}{2}. $

Assim,

$ \frac{PY}{PZ}=\frac{PV}{PW}. $

Além disso, $ \angle PYV = \angle PZW $. Desta forma, $ PYV $ e $ PZW $ são semelhantes pelo caso $ LAL $. Analogamente, $ PZW $ e $ PXU $ também são.

Vamos explorar os ângulos iguais que conseguimos dessas semelhanças. Observe que

$ \angle XPU = \angle YPV. $

Com isso,

$ \angle XPY = \angle XPU + \angle UPY = \angle YPV + \angle UPY = \angle UPV. $

Mais ainda

$ \frac{PX}{PU}=\frac{PY}{PV}=\frac{1}{2}. $

Desta forma os triângulos $ PXY $ e $ PUV $ são semelhantes pelo caso $ LAL $. Assim $ UV=2XY $. Analogamente, $ VW=2YZ $ e $ WX=2ZX $. Com isso, os triângulos $ XYZ $ e $ UVW $ são semelhantes e a razão de semelhança é $ \frac{1}{2} $. Logo,

$ \frac{[XYZ]}{[UVW]}=\frac{1}{4} \Leftrightarrow [UVW]=4. $

Páginas RelacionadasEditar

Bibliografia Editar

  • BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. 11ª. ed. [S.l.]: SBM, 2012. 257 p.