Progressões Geométricas

Uma sequência $a_1,a_2,a_3,\dots$ é chamada de progressão geométrica (ou, simplesmente, PG) se existe um $q$ tal que

$a_{k+1}=qa_{k}$

para $k=1,2,3,\dots$

Nesta definição $q$ é chamado de razão da progressão geométrica.

Fórmula do Termo Geral de uma Progressão Geométrica[]

Se tivermos uma progressão geométrica, como fazemos para descobrir o centésimo termo? E o milésimo? Existe uma fórmula para isto:

$a_{n}=a_{1}.q^{n-1}.$

Fórmula da Soma dos n primeiros termos de uma Progressão Geométrica[]

Se denotarmos por $S_n$ a soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão geométrica e $q$ for diferente de $1$ , então

$S_{n}={\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}.$

Se $q = 1$ , então $S_{n}=a_{1}.q$ .

Exemplo[]

Calcule o produto dos $100$ primeiros termos da progressão geométrica $3,6,12,24,\cdots$ .

Solução: Os $100$ primeiros termos podem ser escritos como

$3,3\cdot 2,3\cdot 2^{2},3\cdot 2^{3},\cdots ,3\cdot 2^{99}.$

Assim o produto deles será

$3\cdot (3\cdot 2)\cdot (3\cdot 2^{2})\cdot (3\cdot 2^{3})\cdots 3\cdot 2^{99}=$

$=\underbrace {3\cdot 3\cdots 3} _{100{\text{ fatores}}}\cdot 2\cdot 2^{2}\cdot 2^{3}\cdots 2^{99}=$

$=3^{100}\cdot 2^{1+2+3+\cdots +99}=3^{100}\cdot 2^{\frac {100\cdot 99}{2}}=3^{100}\cdot 2^{4950}.$

Exemplo[]

Mostre que

$\underbrace {\underbrace {98} \underbrace {98} \cdots \underbrace {98} } _{50{\text{ pares}}}={\frac {98(10^{100}-1)}{99}}.$

Solução: Observemos que

$\underbrace {\underbrace {98} \underbrace {98} \cdots \underbrace {98} } _{50{\text{ pares}}}=98+98\underbrace {00} _{2{\text{ zeros}}}+98\underbrace {0000} _{4{\text{ zeros}}}+\cdots +98\underbrace {00\cdots 00} _{98{\text{ zeros}}}=$

$=98+98\cdot 10^{2}+98\cdot 10^{4}+\cdots +98\cdot 10^{98}.$

Observe que a sequência $98,98\cdot 10^{2},98\cdot 10^{4},\cdots ,98\cdot 10^{98}$ é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é $98$ e a razão é $10^2$ . Observe que ela possui $50$ termos. A sua soma pode ser calculada da seguinte forma: