Pequeno Teorema de Fermat

Se $p$ é um número primo e $a$ não é divisível por $p$, então

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

Exemplo (OBM 2008 - 3ª Fase - Nível 2)

Prove que existem infinitos inteiros positivos $n$ tais que

${\frac {5^{n-2}-1}{n}}$

é um inteiro.

Solução: Conhecemos algo parecido com isso? Sim: o Pequeno Teorema de Fermat nos diz que se $p$ é um número primo e $5$ não é divisível por $p$ (o que neste caso, equivale a dizer que $p$ é diferente de $5$), então

$5^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$,

ou seja, ${\frac {5^{p-1}-1}{p}}$ é inteiro. Se multiplicarmos por um inteiro, o resultado continua um inteiro. Tem como multiplicarmos por alguém e o resultado ser da forma $5^{x}-1$ para algum $x$ inteiro? Sim: se multiplicarmos o número por $5^{p-1}+1$, teremos:

${\frac {5^{2p-2}-1}{p}}$.

Podemos começar a suspeitar que para $n=2p$, para infinitos primos $p$, o resultado é verdadeiro. Para isto, devemos provar que

${\frac {5^{2p-2}-1}{2p}}$

é inteiro para infinitos primos $p$. Observe que ${\frac {5^{p+1}+1}{2}}$ é inteiro, pois $5^{p+1}+1$ é par. Logo,

${\frac {5^{2p-2}-1}{2p}}={\frac {5^{p-1}-1}{p}}.{\frac {5^{p+1}+1}{2}}$

é inteiro, para todo $p$ diferente de $5$.