Lei dos Cossenos

Sejam $ABC$ um triângulo, $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ e $\alpha=\angle BAC$. Então

$a^2=b^2+c^2-2bc \cos{\alpha}$.

Ela também pode ser reescrita como:

$\cos \alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Quando Usar?

• Quando você tiver a medida dos três lados e quiser a medida de um dos ângulos.
• Quando você tiver a medida de dois dos lados, um dos ângulos e quiser a medida do terceiro lado.
• Quando você quiser relacionar as medidas dos lados com um dos ângulos.

Exemplo

Considere $ABC$ um triângulo tal que $AB=8$, $AC=5$ e $\angle BAC = 60^{\circ}$. Calcule $BC$.

Solução: Pela Lei dos Cossenos,

$BC^2=8^2+5^2-2\cdot 8 \cdot 5 \cos 60^{\circ} \Leftrightarrow BC^2=49 \Leftrightarrow BC=7.$

Exemplo (OBM 2014 - Nível 3 - 2ª Fase)

Um círculo tangencia os lados do quadrilátero $ABCD$. Os pontos de tangência são $R$ sobre $AB$, $S$ sobre $BC$, $T$ sobre $CD$ e $U$ sobre $DA$. Sabe-se que $AU=1$, $DU=2$, $BS=2$ e $CS=4$. Calcule o comprimento $SU$.

Solução: Pelo Teorema do Bico, podemos concluir que $AR=AU=1$, $DT=DU=2$, $BR=BS=2$ e $CT=CS=4$. Se definirmos $P$ como a interseção de $AD$ e $BC$, pelo Teorema do Bico novamente, $PS = PU$, ou seja:

$PB + 2 = PA + 1 \implies PA = PB+1$.

Se conseguirmos achar o cosseno de $\angle APB$, que chamaremos de $\cos \alpha$, e a medida do segmento $PB$, que chamaremos de $x$, conseguiremos achar $SU$. Para isso, podemos aplicar a Lei dos Cossenos duas vezes: uma no triângulo $PAB$ e outra no triângulo $PCD$, porque ela nos dirá que:

$\dfrac{x^2 + (x+1)^2 - 3^2}{2x(x+1)} = \cos \alpha = \dfrac{(x+6)^2 + (x+4)^2 - 6^2}{2(x+6)(x+4)}$

Se igualarmos as duas frações, teremos:

$\dfrac{x^2 + (x+1)^2 - 9}{2(x^2+x)} = \dfrac{(x+6)^2 + (x+4)^2 - 36}{2(x^2+10x+24)}$

$\implies \dfrac{2x^2 + 2x - 8}{2(x^2+x)} = \dfrac{2x^2+20x+16}{2(x^2+10x+24)}$

$\implies \dfrac{x^2+x-4}{x^2+x} = \dfrac{x^2+10x+8}{x^2+10x+24}$

$\implies \dfrac{x^2+x}{x^2+x} - \dfrac{4}{x^2+x}= \dfrac{x^2+10x+24}{x^2+10x+24} - \dfrac{16}{x^2+10x+24}$

$\implies \dfrac{4}{x^2+x}= \dfrac{16}{x^2+10x+24}$

$\implies 4x^2+4x = x^2+10x+24$

$\implies 3x^2-6x-24 = 0 \implies x^2-2x-8x=0$

Como $x>0$, $x = \dfrac{2+\sqrt{4+4\cdot8}}{2}=4$.

Dessa forma, $PB=4$ e $PA=5$. Note que $PAB$ é um triângulo retângulo 3-4-5, portanto $\cos \alpha = 4/5$. Usando a lei dos cossenos em $PSU$:

$\dfrac{6^2 + 6^2 - SU^2}{2\cdot 6^2} = \cos \alpha = \dfrac{4}{5}$

$72\cdot4 = 5(72-SU^2) \implies SU^2 = \dfrac{72}{5} \implies SU = \dfrac{6\sqrt{10}}{5}$

Que é o que queríamos fazer.

Exemplo

Considere um quadrilátero $ABCD$ com $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$, $BD=d_1$ e $AC=d_2$. Se $E$ for o ponto de encontro da diagonal, considere também $\theta=\angle AED$. Prove que

$a^2+c^2-b^2-d^2=2d_1d_2\cos \theta.$

Solução: Já que no enunciado aparece um cosseno, somos levados a imaginar que a Lei dos Cossenos vai nos ajudar nesse problema. Só que para usarmos esse resultado, precisamos de um lado entre dois ângulos conhecidos. Por isso, façamos $x=AE$, $y=BE$, $z=CE$ e $w=ED$. Observe que podemos agora usar a Lei dos Cossenos nos triângulos $AEB$, $BEC$, $CED$ e $DEA$.

Seria legal primeiro se fizéssemos aparecer $b^2+d^2$, depois $a^2 + c^2$ e subtrairmos o primeiro do segundo. Se aplicarmos a Lei dos Cossenos nos triângulos $DEA$ e $BEC$ e percebermos que $\angle BEC=\theta$:

$d^2=x^2+w^2-2xw\cos \theta$

$b^2=y^2+z^2-2yz\cos \theta.$

Ao somarmos as igualdades

$b^2+d^2=x^2+y^2+z^2+w^2-2(xw+yz)\cos \theta.(*)$

Se aplicarmos a Lei dos Cossenos nos triângulos $AEB$ e $CED$ e lembrarmos que $\cos (180^{\circ}-\theta) = -\cos \theta$

$a^2=x^2+y^2+2xy\cos \theta$

$c^2=z^2+w^2+2zw\cos \theta.$

Ao somarmos as igualdades,

$a^2+c^2=x^2+y^2+z^2+w^2+2(xy+zw)\cos \theta.(**)$

Seria legal se fizéssemos sumir $x,y,z,w$ das nossas contas. Ao subtrairmos $(*)$ de $(**)$ e lembrarmos que $d_1=y+w$ e $d_2=z+w$:

$a^2+c^2-b^2-d^2=2(xy+zw+xw+yz)\cos \theta \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow a^2+c^2-b^2-d^2=2(x+z)(y+w)\cos \theta \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow a^2+c^2-b^2-d^2=2d_1d_2\cos \theta.$

Exemplo

Considere quatro pontos em uma circunferência $A, B, C, D$. Prove que

$\widehat{AB}>\widehat{CD} \Leftrightarrow AB=CD,$

onde $\widehat{AB}$ e $\widehat{CD}$ são os arcos menores.

Solução: Observe que se $\ \theta$ e $\ \varphi$ são ângulos positivos e menores do que $180^{\circ}$, então

$\theta<\varphi \Leftrightarrow \cos \theta > \cos \varphi.$

Caso queira ter certeza sobre isso, pesquise sobre o gráfico da função cosseno.

Considere $\theta=\widehat{AB}$, $\varphi=\widehat{CD}$, $O$ o centro da circunferência e $R$ o raio. Note que $\angle AOB=\theta$ e $\angle COD=\varphi$. Se aplicarmos a Lei dos Cossenos nos triângulos $AOB$ e $COD$,

$AB^2=2R^2-2R^2\cos \theta$

$CD^2=2R^2-2R^2\cos \varphi.$

Desta forma,

$AB>CD \Leftrightarrow AB^2>CD^2 \Leftrightarrow 2R^2-2R^2\cos \theta>2R^2-2R^2\cos \varphi \Leftrightarrow \cos \theta< \cos \varphi \Leftrightarrow \theta>\varphi \Leftrightarrow \widehat{AB}>\widehat{CD}.$