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A matemática precisa ser precisa. Para podermos mexer bem com ela, precisamos usar a lógica.

Existem vários tipos de lógica. A que focaremos aqui é a lógica bivalente.

Você não precisa ler este artigo para entender matemática. Mas ele pode te ajudar a entender melhor algumas coisas e resolver problemas.

Proposição (ou Sentença) Editar

Uma proposição (ou sentença) é uma frase que:

(a) possui sujeito e predicado (incluindo o verbo);

(b) é afirmativa (e com isso não pode ser nem interrogativa e nem exclamativa);

(c) pode ser somente uma das seguintes coisas: verdadeira ou falsa.

Exemplos Editar

Para que você possa entender melhor a definição veja os seguintes exemplos de expressões que são ou não proposições.

(1) "Silêncio"

Não pode ser uma proposição, pois não possui verbo.

(2) "Que horas são?"

Não pode ser uma proposição, pois é interrogativa.

(3) "Puxa!"

Não pode ser proposição, pois é exclamativa.

(4) "Dois somado com dois"

Não pode ser uma proposição, pois não pode ser julgada com verdadeira ou falsa.

(5) "$ 2+2=4 $"

É uma proposição.

Observações Editar

(1) Uma proposição não pode ser ambígua, ou seja, não pode ter mais de um significado diferente.

(2) O valor lógico de uma proposição é verdadeiro se ela for verdadeira e falso se ela for falsa.

(3) A frase $ x+1=2 $ não é uma proposição. Por que? Pense bem: dá para falar que se ela é verdadeira ou falsa? Não! De fato, ela é verdadeira para $ x=1 $, mas falsa para $ x=2 $. Casos como esse, em que existe uma ou mais variáveis e não se diz mais nada sobre ela, dizemos que ela esta frase é uma sentença aberta (apesar de não ser uma sentença).

Negação Lógica Editar

Escrevermos a negação de $ p $ como sendo $ {\displaystyle {\mathord {\sim }}p} $, $ \neg p $ ou $ p' $.

Quando $ \neg p $ é verdadeiro? Vejamos as seguintes afirmações para descobrir:

(1) "Brasil é um país".

Esta é uma afirmação verdadeira.

(2) "Brasil não é um país".

Esta é uma afirmação falsa.

(3) "Quadrados são redondos"

Esta é uma afirmação falsa.

(4) "Quadrados não são redondos".

Esta é uma afirmação verdadeira.

Podemos imaginar que $ \neg p $ é uma afirmação verdadeira se, e somente se, $ p $ é falsa. E de fato é isso que acontece.

Para vermos melhor isso, podemos usar uma tabela-verdade. Nela, usaremos a letra $ V $ para falar que uma proposição é verdadeira e $ F $ para dizer que ela é falsa.

$ p $$ \neg p $
$ V $$ F $
$ F $$ V $

Conectivos Lógicos Editar

São usados para conectar proposições. Quando temos duas ou mais proposições juntas com um conectivo, chamaremos ela de proposições compostas.

Duas proposições compostas são equivalentes quando possuem o mesmo valor lógico.

ConjunçãoEditar

Podemos representar "$ p $ e $ q $" por $ p \wedge q $. Esta será chamada de conjunção de $ p $ e $ q $ (ou de proposição conjuntiva).

Quando uma proposição $ p \wedge q $ é verdadeira? Vejamos algumas proposições para descobrir:

(1) "A Lua é menor do que o Sol e branco é uma cor clara".

Esta proposição é verdadeira, pois ela é formada por duas sentenças que também são.

(2) "A Lua é menor do que o Sol e cachorros são aves".

Esta proposição é falsa. Por mais que a primeira afirmação seja verdadeira, a segunda é falsa e isto faz com que a proposição inteira seja falsa.

(3) "Gatos botam ovos e o arco-íris tem sete cores".

Esta proposição é falsa. Por mais que a segunda afirmação seja verdadeira, a primeira é falsa e isto faz com que a proposição inteira seja falsa.

(4) "Cangurus tem asas e ouro é um metal rosa".

Esta proposição é falsa, já que as duas afirmações são falsas.

Assim, podemos imaginar que $ p \wedge q $ é verdadeira apenas quando ambas as proposições $ p $ e $ q $ são ambas verdadeiras. Podemos resumir tudo isso em uma tabela verdade:

$ p $$ q $$ p \wedge q $
$ V $$ V $$ V $
$ V $$ F $$ F $
$ F $$ V $$ F $
$ F $$ F $$ F $

DisjunçãoEditar

Podemos representar "$ p $ ou $ q $" por $ p \vee q $. Esta será chamada de disjunção de $ p $ e $ q $ (ou de proposição disjuntiva).

Quando uma proposição $ p \vee q $ é verdadeira? Quando pelo menos uma das proposições "$ p $ ou $ q $ é verdadeira.

Observe que este "ou" é não exclusivo. Este é um "ou" é usando quando uma das alternativas pode acontecer, mas as duas ao mesmo tempo também podem. Por exemplo, alguém pode dizer "vou trabalhar ou vou à praia". Se ele for aos dois lugares, esta afirmação continuará sendo verdadeira.

Observações Editar

(1) A negação de $ p \wedge q $ é $ (\neg p) \vee (\neg q) $.

(2) A negação de $ p \vee q $ é $ (\neg p) \wedge (\neg q) $.

Condicional Editar

Podemos escrever "se $ p $ então $ q $" da seguinte maneira: $ p \rightarrow q $. Esta é uma sentença condicional. Quando uma sentença condicional é verdadeira? Vejamos alguns exemplos para ver se conseguimos suspeitar de algo.

A recíproca de $ P \rightarrow Q $ é a sentença $ Q \rightarrow P $.

Exemplo: Imagine que um professor diz a um aluno: "Se você tirar $ 10 $ na última prova, então você passará de ano". Temos aqui uma condicional $ p \rightarrow q $, onde $ p $ é "você tirar $ 10 $ na última prova" e $ q $ é "você passa de ano". Vejamos o que acontece com essa condicional em cada um dos casos:

1º Caso: $ p $ e $ q $ são verdadeiras.

Se ele tirou $ 10 $ na última prova e passou de ano, então a sentença condicional foi cumprida, ou seja, ela é verdadeira.

2º Caso: $ p $ é verdadeira e $ q $ é falsa.

Se ele tirou $ 10 $ na última prova, mas não passou de ano, então a sentença condicional não foi cumprida, logo ela é falsa.

3º Caso: $ p $ é falsa e $ p $ é verdadeira.

Se ele não tirou $ 10 $ na última prova e mesmo assim passou de ano, a sentença condicional foi cumprida, pois ele pode ter passado por outro motivo (pode ser que ele foi muito bem nas provas anteriores, por exemplo). Logo, a condicional é verdadeira neste caso.

(Note que o professor não disse nada sobre o que aconteceria se ele não tirasse $ 10 $).

4º Caso: $ p $ e $ q $ são falsas.

Se ele não tirou $ 10 $ e não passou de ano, então o professor não estava mentindo. Logo, a condicional é verdadeira neste caso. Dizemos que estas afirmações são vacuamente satisfeitas.

(Note que o professor não disse nada sobre o que aconteceria se ele não tirasse $ 10 $).

Observe então que $ p \rightarrow q $ é falsa se, e somente se, $ p $ é verdadeira e $ q $ é falsa. Podemos resumir isso numa tabela:

$ p $$ q $$ p \rightarrow q $
$ V $$ V $$ V $
$ V $$ F $$ F $
$ F $$ V $$ V $
$ F $$ F $$ V $

Observação Editar

Se uma sentença é verdadeira, não necessariamente a sua recíproca é verdadeira. Além disso, se ela for falsa, a sua recíproca não necessariamente é falsa.

Bicondicional Editar

Considere as duas afirmações seguintes:

  • Se Maria é maior do que João, então João é menor do que Maria;
  • Se João é menor do que Maria, então Maria é maior do que João.

Podemos resumir estas duas afirmações na seguinte: "Maria é maior do que João se, e somente se, João é menor do que Maria".

Em termos mais formais, dadas duas sentenças $ p $ e $ q $, se tivermos $ p \rightarrow q $ e $ q \rightarrow p $, podemos escrever $ p \leftrightarrow q $ e isto é lido como "$ p $ se, e somente se, $ q $".

$ p $$ q $$ p \leftrightarrow q $
$ V $$ V $$ V $
$ V $$ F $$ F $
$ F $$ V $$ F $
$ F $$ F $$ V $

Implicação LógicaEditar

Sejam $ p $ e $ q $ duas proposições (que podem depender de outras). Dizemos que $ p $ implica $ q $ quando $ p \rightarrow q $ é sempre verdadeira, independente dos valores lógicos das proposições das quais $ p $ e $ q $ dependem. Denotaremos isto por $ p \Rightarrow q $. Esta pode ser chamada de sentença implicativa.

A recíproca de $ P \Rightarrow Q $ é a sentença $ Q \Rightarrow P $.

Exemplos:

(1) $ p \Rightarrow p $, pois

$ p $$ p \rightarrow p $
$ V $$ V $
$ F $$ V $

(2) $ (p \wedge q) \Rightarrow (p \vee q) $, pois

$ p $$ q $$ p \wedge q $$ p \vee q $$ (p \wedge q) \rightarrow (p \vee q) $
$ V $$ V $$ V $$ V $$ V $
$ V $$ F $$ F $$ V $$ V $
$ F $$ V $$ F $$ V $$ V $
$ F $$ F $$ F $$ F $$ V $

(3) $ (p \wedge q) \Rightarrow p $

$ p $$ q $$ p \wedge q $$ (p \wedge q) \rightarrow p $
$ V $$ V $$ V $$ V $
$ V $$ F $$ F $$ V $
$ F $$ V $$ F $$ V $
$ F $$ F $$ F $$ V $

É comum que apareçam implicações lógicas nas resoluções de equações. Coimo por exemplo,

$ 2x-4=6 \Rightarrow 2x=4+6 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=\frac{10}{2} \Rightarrow x=5. $

Observações Editar

(1) Se $ p \Rightarrow q $ não necessariamente podemos concluir que $ q \Rightarrow p $.

Por exemplo, podemos dizer que "se ele é cachorro, então ele é um mamífero", mas não podemos dizer que "se ele é um mamífero, então ele é um cachorro". Afinal, existem outros mamíferos além dos cachorros: gatos, coelhos, humanos etc.

(2) Nunca escreva "se $ p \Rightarrow q $" para representar uma implicação lógica em si.

(3) A negação de $ p \Rightarrow q $ é $ p \wedge (\neg q) $.

Equivalência Lógica Editar

Se $ P \Rightarrow Q $ e $ Q \Rightarrow P $ são válidas, vamos dizer que $ P $ e $ Q $ são logicamente equivalentes ou $ P $ se, e somente se, $ Q $ . Escrevermos isso da seguinte maneira $ P \Leftrightarrow Q $.

Quando duas proposições são equivalentes, ela são duas maneiras de dizermos a mesma coisa. Se duas sentenças são equivalentes, podemos trocar uma sentença pela outra para trabalhar.

Só podemos falar de $ P \Leftrightarrow Q $ quando ambas as proposições são verdadeiras ou ambas falsas.

Contrapostiva Editar

Se $ p $ e $ q $ são proposição, então $ \neg q \Rightarrow \neg p $ é a contrapositiva da implicação $ p \Rightarrow q $.

Vale dizer que $ p \Rightarrow q $ se, e somente se, $ \neg q \Rightarrow \neg p $.

Condição Necessária e Condição Suficiente Editar

Quando escrevemos $ p \Rightarrow q $, podemos dizer que

(i) $ p $ é condição suficiente para $ q $;

(ii) $ q $ é condição necessária para $ p $.

Caso $ P \Leftrightarrow Q $, iremos dizer que $ P $ é condição necessária e suficiente para $ Q $.

Exemplos:

(1) Um copo de vidro cair no chão é condição suficiente para o copo quebrar. (Ok, suponha que o copo caiu de uma altura razoável, que não tem nada no chão que impeça ele de quebrar etc). Aqui "suficiente" no sentido de ser "bastante" para o copo quebrar.

(2) Maria ter se molhado é condição necessária para ela ter nadado, pois ela não pode nadar sem se molhar.

A condição suficiente é geralmente mais forte do que a conclusão que se quer chegar. Já a condição necessária é mais fraca.

SilogismosEditar

Se tivermos algo da forma "se $ p $ então $ q $" e "se $ q $ então $ r $", podemos concluir que "se $ p $ então $ r $".

É mais popularmente conhecida por frases do tipo "todo $ p $ é $ q $" e "todo $ Q $ é $ R $", logo "todo $ p $ é $ R $".

Por exemplo, "todo humano é mamífero" e "todo mamífero é animal", logo "todo humano é animal".

Observação Editar

Existe uma relação direta entre lógica e conjuntos (mas que você não precisa se preocupar com ela, pois não é necessária para que você vire um olímpico). Por exemplo, a implicação lógica está relacionada com a inclusão, a igualdade entre conjuntos está relacionada com a equivalência lógica, complementar com negação, união com a disjunção, intersecção com a conjunção.

Onde Treinar Lógica? Editar

Existe um jogo na Playstore chamado Not Not, que pode ser encontrado aqui. É um jogo que você precisa usar a lógica corretamente para poder avançar.

Bibliografia Editar

  • P. Zeitz : The Art and Craft of Problem Solving, Wiley; International Student edition, 2006.
  • FILHO, Daniel Cordeiro de Morais. Um Convite à Matemática: com técnicas de demonstração e notas históricas. 3ª. ed. [S.l.]: SBM, 2016. 310 p.
  • LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio. 10. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012. 280 p. v. 1.