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É o estudo das figuras. A única geometria estudada no ensino médio é a euclidiana (apesar de existirem outras).

A geometria pode ser feita de maneira bem mais rigorosa, mas não é necessário a quem quer estudar apenas para olimpíadas de matemática.

Pontos e retas não possuem definição.

É comum usarmos letras maiúsculas para representarmos pontos, como por exemplo $ A,B,C,\dots $, enquanto costumamos usar letras minúsculas para representarmos retas, como por exemplo $ r,s,t,\dots $.

Pontos e Retas

O conjunto formado pelos pontos $ A $ e $ B $ e por todos os pontos entre eles é chamado de segmento $ AB $.

Segmento

Um segmento $ AB $ também pode ser representado por $ \overline{AB} $. A sua medida pode ser representada por $ AB $, $ \overline{AB} $ ou $ \operatorname{med}(AB) $. Os pontos $ A $ e $ B $ do segmento $ AB $ são chamados de extremos.

É comum, quando tivermos dois segmentos de mesma medida, dizer que eles são iguais. Mas o mais preciso é dizer que dois segmentos serão congruentes se possuírem a mesma medida.

Sejam $ O $ e $ A $ pontos distintos. O conjunto formado pelos pontos do segmento $ AB $ e pelos pontos $ C $ tais que $ A $ está entre $ O $ e $ C $ é chamado de semirreta $ AB $. A semirreta $ AB $ pode ser denotada por $ S_{AB} $. Neste caso, o ponto $ O $ é chamado de origem.

Semirreta
Podemos marcar segmentos conforme suas medidas:
Marcações em segmentos

Se dois segmentos possuem a mesma marcação, então eles possuem a mesma medida. Caso contrário, eles podem não possuir a mesma medida.

DefiniçãoEditar

Dizemos que $ M $ é ponto médio de um segmento $ AB $ quando $ M $ pertence a $ AB $ e $ AM=MB $.

Ponto Médio 2

DefiniçãoEditar

Dizemos que o ponto $ O $ é equidistante aos pontos $ A $ e $ B $ quando $ OA=OB $.

Equidistante

RetasEditar

O ponto em comum entre duas retas é chamado de ponto de intersecção (ou ponto de interseção). Neste caso, diremos que as retas se intersectam. Dizemos que duas ou mais retas são concorrentes se possuírem exatamente um ponto em comum. No caso a seguir, diremos que as retas $ r $ e $ s $ concorrem no ponto $ P $.

Ponto de Intersecção
Duas retas são paralelas se elas não possuem nenhum ponto em comum. Se $ r $ e $ s $ são retas paralelas, podemos escrever que $ r \parallel s $.
Retas Paralelas

Quando duas retas possuem todos os pontos em comum, diremos que elas são coincidentes.

Retas Coincidentes

Alguns livros dizem dizem que as retas coincidentes também são paralelas.

Dizemos que três ou mais pontos são colineares se existe uma reta que passa por todos eles.

Colinearidade-0

Ângulos Editar

Ângulo é a figura formada pela união de duas semirretas de mesma origem. Neste caso, as semirretas são chamadas de lados e a origem de vértice.

No caso da figura a seguir, o ângulo pode ser representado por $ \angle AOB $ ou ainda $ A\hat{O}B $.

Ângulos

Além do mais, podemos representar o ângulo acima por $ \angle BOA $. O importante é que o vértice fique no meio.

Caso não haja perigo de confusão, representaremos a medida de um ângulo simplesmente por $ \angle A $ ou $ \hat{A} $.

É comum usarmos letras gregas para representarmos as medidas de ângulos, como por exemplo $ \alpha $ (alfa), $ \beta $ (beta), $ \gamma $ (gama), $ \theta $ (teta) etc.

Podemos marcar ângulos conforme suas medidas:

Marcações em ângulos

Se dois ângulos possuem a mesma marcação, então eles possuem a mesma medida. Caso contrário, eles podem não possuir a mesma medida.

Dois ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida.

Ânguloscongruentes

Um ângulo nulo é aquele que mede $ 0^{\circ} $. Ele é formado por duas semirretas coincidentes. Na figura a seguir, o ângulo $ \angle AOB $ é nulo.

Ângulonulo

Um ângulo é chamado de reto se sua medida for igual a $ 90^{\circ} $.

Ânguloreto

Um ângulo é agudo se ele mede menos de $ 90^{\circ} $ (e mais do que $ 0^{\circ} $).

Ânguloagudo

Já quando sua medida for maior que $ 90^{\circ} $, chamaremos ele de obtuso.

Ânguloobtuso

Dois ângulos são complementares se sua soma é igual a $ 90^{\circ} $. Neste caso, um é chamado de complemento do outro.

Ângulos complementares

Além disso, dois ângulos são chamados de suplementares quando sua soma é igual a $ 180^{\circ} $. Aqui, um é chamado de suplemento do outro.

Ângulossuplementares

Ângulos Opostos Pelo Vértice Editar

Na figura a seguir, os ângulos $ \angle AOB $ e $ \angle COD $ são opostos pelo vértice (OPV). O mesmo acontece para os ângulos $ \angle AOC $ e $ BOD $.

Ângulos OPV

Ângulos opostos pelo vértice possuem mesma medida.

Definição Editar

Se duas retas $ r $ e $ s $ formam quatro ângulos de $ 90^{\circ} $ cada, diremos que elas são perpendiculares. Neste caso, escreveremos $ r \perp s $.

Retas Perpendiculares

Definição Editar

Sejam $ A $ e $ B $ pontos e $ r $ uma reta. Se $ B $ pertence a $ r $ e $ AB $ é perpendicular a $ r $, dizemos que $ B $ é o pé da perpendicular.

Pé da perpendicular

Retas Paralelas Cortadas Por Uma Transversal Editar

Na figura a seguir, os pares de ângulos de mesma cor são chamados de ângulos correspondentes.

Ângulos Congruentes
Se duas retas são paralelas, então ângulos correspondentes possuem mesma medida.

Se dois ângulos tiverem conforme uma das figuras a seguir, eles serão chamados de alternos internos:

Alternos Internos

Já se eles estiverem conforme uma das próximas figuras, eles são chamados de alternos externos:

Alternos Externos
Tanto pares de ângulos alternos internos quanto alternos externos possuem mesma medida.

Se dois ângulos tiverem conforme uma das figuras a seguir, eles serão chamados de colaterais internos:

Colaterais Internos

Já se eles estiverem conforme uma das próximas figuras, eles são chamados de colaterais externos:

Colaterais Externos

Em ambos os casos, os pares de ângulos colaterais (tanto internos quanto externos) são suplementares (ou seja, a soma deles é $ 180^{\circ} $).

Proposição Editar

(a) Se tivermos um par de ângulos correspondentes e de mesma medida, então as retas são paralelas.

(b) Além disso, se tivermos pares de ângulos alternos internos (ou externos) e de mesma medida, então as retas são paralelas.

(c) Se tivermos pares de ângulos colaterais internos (ou externos) e de mesma medida, então as retas são paralelas.

Por isso, se uma figura tiver ângulos de mesma medida, é interessante procurarmos retas paralelas.

Um Caso Particular Editar

Se $ r $ e $ s $ são perpendiculares a $ t $, então $ r $ e $ s $ são paralelas.

Duasretasperpendicularesaumaterceira

Definição (Distância entre Ponto e Reta)Editar

Seja $ P $ um ponto e $ r $ uma reta (de modo que $ P $ está sobre $ r $). Se $ Q $ é um ponto pertencente a $ r $ tal que $ PQ $ é perpendicular a $ r $, então $ PQ $ é a distância entre $ P $ e $ r $. Ela pode ser indicada por $ d(P,r) $.

Distânciapontoareta2

Proposição Editar

As retas $ r $ e $ s $ são paralelas se, e somente se, todos os pontos de $ r $ estão à mesma distância da reta $ s $.

Distâncias retas paralelas

DefiniçãoEditar

A bissetriz de um ângulo $ \angle AOB $ é uma semirreta $ OC $ tal que $ \angle AOC=\angle OCB $. Neste caso, dizemos que $ OC $ bissecta o ângulo $ \angle AOB $.

Bissetriz

ProposiçãoEditar

A bissetriz de $ \angle AOB $ é o conjunto dos pontos equidistantes a $ OA $ e $ OB $.

Bissetrizdistâncias

DefiniçãoEditar

A mediatriz de um segmento é uma reta que é perpendicular a ele e passa pelo seu ponto médio.

Em alguns lugares, a mediatriz de um segmento $ AB $ é representada por $ m_{AB} $.

Mediatriz

ProposiçãoEditar

Para $ A $ e $ B $ pontos distintos, a mediatriz de $ AB $ é o conjunto de todos os pontos equidistantes a $ A $ e $ B $. Em outras palavras, um ponto é equidistante de $ A $ e $ B $ se, e somente se, pertence a mediatriz $ AB $.

Mediatrizlugargeométrico

Projeção Ortogonal de Um Ponto Sobre Uma Reta Editar

Sejam $ P $ e $ Q $ pontos e $ r $ uma reta tais que $ Q $ pertence a $ r $. Se $ PQ $ é perpendicular a $ r $, então $ Q $ é a projeção ortogonal de $ P $ sobre $ r $.

Projeçãoortogonaldepontosobrereta

Projeção Ortogonal de Um Segmento Sobre Uma Reta Editar

Sejam $ A $ e $ B $ pontos e $ r $ uma reta. Se $ P $ e $ Q $ são pontos sobre $ r $ tais que $ AP $ e $ BQ $ são perpendiculares a $ r $, então $ PQ $ é a projeção ortogonal de $ AB $ sobre $ r $.

Projeçãoortogonaldesegmentosobrereta

Vejamos o caso em que uma das extremidades pertence a reta. Sejam $ A,P $ e $ Q $ pontos tais que $ P $ e $ Q $ pertencem a $ r $ e $ AP $ é perpendicular a $ r $. Então $ QP $ é a projeção ortogonal de $ AQ $ sobre $ r $.

Projeçãoortogonaldesegmentosobreretaemcasoparticular

BibliografiaEditar

  • BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. 11ª. ed. [S.l.]: SBM, 2012. 257 p.
  • LIMA, Elon Lages. Medida e Forma em Geometria. 4ª. ed. [S.l.]: SBM, 2011. 93 p.