Conjuntos

Conjuntos não possuem uma definição formal. Mas intuitivamente, podemos pensar em conjuntos como uma lista de coisas.

Por exemplo, o conjunto das vogais será $\{a,e,i,o,u\}$. Os membros deste conjunto, isto é, $a,e,i,o$ e $u$ são chamados de elementos. Os elementos são escritos entre chaves.

Se $a$ for um elemento de um conjunto $A$, diremos que $a$ pertence a $A$ e denotaremos isto por $a \in A$. Caso contrário, $a$ não pertence a $A$ e escreveremos isto assim $a \notin A$.

Se um conjunto não tiver elementos, ele será chamado de conjunto vazio e representado por $\emptyset$ ou $\{\,\}$.

Se um conjunto possui apenas um elemento, ele é chamado de conjunto unitário.

Não confunda conjuntos com teoria dos conjuntos. Esta teoria existe, mas é uma coisa completamente diferente do que está escrito nesta página.

Representações de Conjuntos

Podemos representar um conjunto escrevendo todos os seus elementos, como por exemplo, o conjunto das vogais do alfabeto: $A=\{a,e,i,o,u\}$.

Mas também podemos descrever como são os elementos do conjunto: $A=\{\text{vogais}\}$.

Observação

Não escreva $\{\text{conjunto das vogas}\}$. O correto é somente $\{\text{vogais}\}$.

Igualdade Entre Conjuntos

Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuem os mesmos elementos.

Se quisermos mostrar que dois conjuntos $A$ e $B$ são iguais, basta mostrarmos que todo elemento de $A$ também é elemento de $B$ e vice-versa.

Conjunto Universo

É o conjunto dos objetos que estão sendo considerados na discussão. Pode ser visto como "tema da discussão". Por exemplo, podemos provar apenas as soluções inteiras de uma equação. Então, neste caso, o conjunto universo é o conjunto dos números inteiros.

Em geral, o conjunto universo é denotado pela letra $U$.

Relação de Inclusão

Dizemos que $A$ é um subconjunto de $B$ (ou que $A$ está contido em $B$) quando todo elemento de $A$ também é um elemento de $B$. Neste caso, escreveremos $A \subset B$.

Se $A$ não for subconjunto de $B$, podemos escrever $A \not \subset B$. Isto acontece se, e somente se, existe algum elemento de $A$ que não pertence a $B$.

Desta forma, para provarmos que $A \subset B$, basta provarmos que se $x \in A$, então $x \in B$.

Diremos que $A$ é um subconjunto próprio de $B$ quando $A \subset B$, mas $A$ não é vazio e é diferente de $B$.

Propriedades da Inclusão

(i) (Reflexiva) $A \subset A$

(ii) (Anti-Simétrica) Se $A \subset B$ e $B \subset A$, então $A = B$.

(iii) (Transitiva) Se $A \subset B$ e $B \subset A$, então $A = B$.

(Muita usada para mostrar que dois conjuntos são iguais.)

(iv) $\emptyset \subset A$.

Complementar de um Conjunto

Só podemos falar de complementar se tivermos um conjunto universo.

Dado $A$ um conjunto, o complementar de $A$ é o conjunto de todos os elementos do conjunto universo que não pertencem a $A$. Podemos representar este conjunto por $A^c$.

Em outras palavras, se $U$ for o conjunto universo, então

$A^c=\{x \in U: x \notin A\}.$

Propriedades do Complementar

(i) $(A^c)^c = A$

(ii) Para quaisquer conjuntos $A$ e $B$, vale dizer que $A \subset B$ se, e somente se, $B^c \subset A^c$.

(iii) Se $U$ é o conjunto universo, então $U^c=\emptyset$ e $\emptyset^c=U$.

Operações entre Conjuntos

Do mesmo jeito que podemos fazer operações entre números (por exemplo: adição, subtração, multiplicação e divisão), também podemos fazer operações entre conjuntos.

União de Conjuntos

Dado dois conjuntos $A$ e $B$, a união (ou reunião) de $A$ e $B$ é o conjunto formado quando reunimos os elementos de $A$ e $B$. Podemos representar isso por $A \cup B$.

Em outras palavras,

$A \cup B= \{x| x \in A \text{ ou }x \in B\}.$

Observe que este "ou" é não exclusivo. Este é um "ou" é usando quando uma das alternativas pode acontecer, mas as duas ao mesmo tempo também podem. Por exemplo, alguém pode dizer "vou trabalhar ou vou à praia". Se ele for aos dois lugares, esta afirmação continuará sendo verdadeira.

Em outras palavras, se algum elemento pertence a ambos os conjuntos, também pertencerá a união.

Propriedades da União

(i) (Comutativa) $A \cup B = B \cup A$

(ii) (Associativa) $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

(iii) $A \cup B = B \Leftrightarrow A \subset B$

(iv) Se $A \subset B$, então $(A \cup C) \subset (B \cup C)$

Intersecção entre Conjuntos

Dado dois conjuntos $A$ e $B$, a intersecção (ou interseção) $A$ e $B$ é o conjunto formado pelos elementos que estão em $A$ e $B$ ao mesmo tempo. Podemos representar isso por $A \cap B$.

Em outras palavras,

$A \cap B= \{x| x \in A \text{ e }x \in B\}.$

Diremos que os conjuntos $A$ e $B$ são disjuntos quando $A \cap B = \varnothing$.

Propriedades da Intersecção

(i) (Comutativa) $A \cap B = B \cap A$

(ii) (Associativa) $(A \cap B) \cup C = A \cap (B \cap C)$

(iii) (Distributiva) $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

(iv) $A \cap B = A \Leftrightarrow A \subset B$

(v) Se $A \subset B$, então $(A \cap C) \subset (B \cap C)$

(vi) (Leis de De Morgan) Em relação a um conjunto universo,

$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$

e

$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

Cardinalidade de um Conjunto

Usaremos $|X|$, $\# X$ ou $n(X)$ para representar a quantidade de elementos de um conjunto.

Se $A \subset B$, então $|A| \leq |B|$.

Dois conjuntos $A$ e $B$ são disjuntos se, e somente se, $|A \cup B| = |A|+|B|$.

Se $A_1,A_2,\dots,A_n$ são dois a dois disjuntos, então

$|A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n| = |A_1|+|A_2|+\dots+|A_n|.$

Princípio da Inclusão-Exclusão

Se $A$ e $B$ são conjuntos, então

$|A \cup B| = |A|+|B|-|A \cap B|.$

Produto Cartesiano

Sejam $A$ e $B$ conjuntos. Então o produto cartesiano entre $A$ e $B$ é definido por.

$A \times B = \{(a,b)| a \in A \text{ e } b \in B \}.$

Podemos falar do produto cartesiano de $n$ conjuntos.

$A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n = \{(a_1,a_2,\dots,a_n)| a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, \dots, a_n \in A_n\}.$

Máximo e Mínimo de um Conjunto

O máximo de um conjunto $X$, denotado por $\max{X}$, é um elemento $x \in X$ tal que $x \geq a$, para todo $a \in X$.

Podemos representar $\max \{a,b\}$ por $\max (a,b)$.

Da mesma forma, o mínimo de um conjunto $X$, denotado por $\min{X}$, é um elemento $x \in X$ tal que $x \leq a$, para todo $a \in X$.

Podemos representar $\min \{a,b\}$ por $\min(a, b)$.

Bibliografia

• LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio. 10. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012. 280 p. v. 1.