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Conjuntos não possuem uma definição formal. Mas intuitivamente, podemos pensar em conjuntos como uma lista de coisas.

Por exemplo, o conjunto das vogais será $ \{a,e,i,o,u\} $. Os membros deste conjunto, isto é, $ a,e,i,o $ e $ u $ são chamados de elementos. Os elementos são escritos entre chaves.

Se $ a $ for um elemento de um conjunto $ A $, diremos que $ a $ pertence a $ A $ e denotaremos isto por $ a \in A $. Caso contrário, $ a $ não pertence a $ A $ e escreveremos isto assim $ a \notin A $.

Ao invés de escrevermos $ a \in A $ e $ b \in A $, podemos colocar isso de uma jeito mais simples: $ a,b \in A $.

Se um conjunto não tiver elementos, ele será chamado de conjunto vazio e representado por $ \emptyset $ ou $ \{\,\} $.

Se um conjunto possui apenas um elemento, ele é chamado de conjunto unitário.

Não confunda conjuntos com teoria dos conjuntos. Esta teoria existe, mas é uma coisa completamente diferente do que está escrito nesta página.

Representações de Conjuntos Editar

Podemos representar um conjunto escrevendo todos os seus elementos, como por exemplo, o conjunto das vogais do alfabeto: $ A=\{a,e,i,o,u\} $.

Mas também podemos descrever como são os elementos do conjunto: $ A=\{\text{vogais}\} $.

Observação Editar

Não escreva $ \{\text{conjunto das vogas}\} $. O correto é somente $ \{\text{vogais}\} $.

Igualdade Entre ConjuntosEditar

Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuem os mesmos elementos.

Se quisermos mostrar que dois conjuntos $ A $ e $ B $ são iguais, basta mostrarmos que todo elemento de $ A $ também é elemento de $ B $ e vice-versa.

Conjunto Universo Editar

É o conjunto dos objetos que estão sendo considerados na discussão. Pode ser visto como "tema da discussão". Por exemplo, podemos provar apenas as soluções inteiras de uma equação. Então, neste caso, o conjunto universo é o conjunto dos números inteiros.

Em geral, o conjunto universo é denotado pela letra $ U $.

Relação de InclusãoEditar

Dizemos que $ A $ é um subconjunto de $ B $ (ou que $ A $ está contido em $ B $) quando todo elemento de $ A $ também é um elemento de $ B $. Neste caso, escreveremos $ A \subset B $.

Se $ A $ não for subconjunto de $ B $, podemos escrever $ A \not \subset B $. Isto acontece se, e somente se, existe algum elemento de $ A $ que não pertence a $ B $.

Desta forma, para provarmos que $ A \subset B $, basta provarmos que se $ x \in A $, então $ x \in B $.

Diremos que $ A $ é um subconjunto próprio de $ B $ quando $ A \subset B $, mas $ A $ não é vazio e é diferente de $ B $.

Propriedades da Inclusão Editar

(i) (Reflexiva) $ A \subset A $

(ii) (Anti-Simétrica) Se $ A \subset B $ e $ B \subset A $, então $ A=B $.

(iii) (Transitiva) Se $ A \subset B $ e $ B \subset A $, então $ A=B $.

(Muita usada para mostrar que dois conjuntos são iguais.)

(iv) $ \emptyset \subset A $.

Complementar de um Conjunto Editar

Só podemos falar de complementar se tivermos um conjunto universo.

Dado $ A $ um conjunto, o complementar de $ A $ é o conjunto de todos os elementos do conjunto universo que não pertencem a $ A $. Podemos representar este conjunto por $ A^c $.

Em outras palavras, se $ U $ for o conjunto universo, então

$ A^c=\{x \in U: x \notin A\}. $

Propriedades do Complementar Editar

(i) $ (A^c)^c=A $

(ii) Para quaisquer conjuntos $ A $ e $ B $, vale dizer que $ A \subset B $ se, e somente se, $ B^c \subset A^c $.

(iii) Se $ U $ é o conjunto universo, então $ U^c=\emptyset $ e $ \emptyset^c=U $.

Operações entre Conjuntos Editar

Do mesmo jeito que podemos fazer operações entre números (por exemplo: adição, subtração, multiplicação e divisão), também podemos fazer operações entre conjuntos.

União de Conjuntos Editar

Dado dois conjuntos $ A $ e $ B $, a união (ou reunião) de $ A $ e $ B $ é o conjunto formado quando reunimos os elementos de $ A $ e $ B $. Podemos representar isso por $ A \cup B $.

Em outras palavras,

$ A \cup B= \{x| x \in A \text{ ou }x \in B\}. $

Observe que este "ou" é não exclusivo. Este é um "ou" é usando quando uma das alternativas pode acontecer, mas as duas ao mesmo tempo também podem. Por exemplo, alguém pode dizer "vou trabalhar ou vou à praia". Se ele for aos dois lugares, esta afirmação continuará sendo verdadeira.

Em outras palavras, se algum elemento pertence a ambos os conjuntos, também pertencerá a união.

Propriedades da União Editar

(i) (Comutativa) $ A \cup B = B \cup A $

(ii) (Associativa) $ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $

(iii) $ A \cup B = B \Leftrightarrow A \subset B $

(iv) Se $ A \subset B $, então $ (A \cup C) \subset (B \cup C) $

Intersecção entre Conjuntos Editar

Dado dois conjuntos $ A $ e $ B $, a intersecção (ou interseção) $ A $ e $ B $ é o conjunto formado pelos elementos que estão em $ A $ e $ B $ ao mesmo tempo. Podemos representar isso por $ A \cap B $.

Em outras palavras,

$ A \cap B= \{x| x \in A \text{ e }x \in B\}. $

Diremos que os conjuntos $ A $ e $ B $ são disjuntos quando $ A \cap B = \varnothing $.

Propriedades da Intersecção Editar

(i) (Comutativa) $ A \cap B = B \cap A $

(ii) (Associativa) $ (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cap C) $

(iii) (Distributiva) $ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) $

$ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) $

(iv) $ A \cap B = A \Leftrightarrow A \subset B $

(v) Se $ A \subset B $, então $ (A \cap C) \subset (B \cap C) $

(vi) (Leis de De Morgan) Em relação a um conjunto universo,

$ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c $

e

$ (A \cap B)^c = A^c \cup B^c $

Cardinalidade de um ConjuntoEditar

Usaremos $ |X| $, $ \# X $ ou $ n(X) $ para representar a quantidade de elementos de um conjunto.

Se $ A \subset B $, então $ |A| \leq |B| $.

Dois conjuntos $ A $ e $ B $ são disjuntos se, e somente se, $ |A \cup B| = |A|+|B| $.

Se $ A_1,A_2,\dots,A_n $ são dois a dois disjuntos, então

$ |A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n| = |A_1|+|A_2|+\dots+|A_n|. $

Princípio da Inclusão-Exclusão Editar

Se $ A $ e $ B $ são conjuntos, então

$ |A \cup B| = |A|+|B|-|A \cap B|. $

Produto Cartesiano Editar

Sejam $ A $ e $ B $ conjuntos. Então o produto cartesiano entre $ A $ e $ B $ é definido por.

$ A \times B = \{(a,b)| a \in A \text{ e } b \in B \}. $

Podemos falar do produto cartesiano de $ n $ conjuntos.

$ A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n = \{(a_1,a_2,\dots,a_n)| a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, \dots, a_n \in A_n\}. $

Máximo e Mínimo de um Conjunto Editar

O máximo de um conjunto $ X $, denotado por $ \max{X} $, é um elemento $ x \in X $ tal que $ x \geq a $, para todo $ a \in X $.

Podemos representar $ \max \{a,b\} $ por $ \max (a,b) $.

Da mesma forma, o mínimo de um conjunto $ X $, denotado por $ \min{X} $, é um elemento $ x \in X $ tal que $ x \leq a $, para todo $ a \in X $.

Podemos representar $ \min \{a,b\} $ por $ \min (a,b) $.

BibliografiaEditar

  • LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio. 10. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012. 280 p. v. 1.
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