Como Resolver Problemas?

Uma das grandes referências é a do livro "How to Solve it" do George Pólya. 

A arte de resolver problemas pode ser aprendida. Esta "arte" é chamada pelo matemático húngaro George Pólya (e por outros) de heurística. Quando lidamos com heurística estamos falando de problemas e não de exercícios. Qual a diferença? Exercícios saem imediatamente. Já problemas não.

Tenha em mente que você não aprende a ser um "resolvedor de problemas" do dia pra noite: isto requer tempo e prática. É como um atleta: para ele poder pegar medalhas, ele precisa praticar bastante.

Problemas tem duas estruturas principais:

Hipótese: o que o enunciado "lhe deu".

Tese (ou Conclusão): onde você deve chegar.

Se você se tornar um bom "resolvedor" de problemas, você começará a gostar de fazer trabalhos mentais. Isto vai te ajudar em vários momentos de sua vida.

Lembre-se de que as dicas por si só não vão lhe ajudar tanto do dia para a noite: é necessário prática.

Tudo bem se você não entender alguns problemas daqui. O importante é entender as técnicas. Qualquer coisa, você pode estudar mais sobre a teoria e voltar aqui depois para entender todos os problemas.

As estratégias desta página não irão resolver todos os problemas que você encontrar. Aprenda a variá-las ou a pensar em novas estratégias.

Como começar a ser um "resolvedor" de problemas"?

• Problemas de olimpíadas não são resolvidos imediatamente. Seja paciente e persistente.
• Não se desencoraje se você não resolver no começo. Isto não significa que você nunca vai conseguir e sim que você deve persistir mais.
• Pare de ter respeito em excesso pelos problemas. Eles não foram feitos apenas para algumas pessoas. Eles foram feitos para qualquer pessoa que estude o suficiente.
• Estude principalmente aquelas coisas que você tem dificuldade e não só aquilo que você gosta.
• O tempo gasto em um problema é sempre um tempo bem gasto.
• Não diga: "não sei resolver o problema" antes mesmo de tentar ou depois de tentá-lo durante pouco tempo.
• Você deve tentar várias vezes resolver um problema. Se você não conseguir resolver um problema de primeira, deve tentar, tentar, tentar, ...  Não se importe em tentar várias vezes, pois nessas tentativas é que você ganha experiência.
• Conforme você acha os problemas cada vez mais interessante, não vai ser mais um problema gastar bastante tempo procurando sua solução.
• Não tenha medo de falhar. Afinal, aquela falha vai te fazer amadurecer para que na próxima tentativa sua ideia seja melhor.
• Se você não resolver um problema, tudo bem: você já amadureceu nas suas tentativas. Por isso, vale a pena gastar tempo em problemas, independente se você irá resolvê-los ou não.
• Antes de ler a resolução de um problema, lembre-se que será mais prazeroso resolvê-lo por conta própria.
• Às vezes, um problema parecido que você tenha resolvido no passado vai te ajudar a resolver algum problema. Por isso, não é só interessante que você saiba os teoremas e sim que você tenha resolvido vários problemas.
• Lembre-se de que quanto mais trabalho independente você tiver, melhor. Se você apenas ler soluções sem se esforçar, não estará pensando tanto e portanto não estará treinando tanto.
• Se você souber o que os gênios anteriores e atuais fizeram, você tem mais chance de sair na frente. Como disse Isaac Newton: "Se eu vi mais longe, foi por estar sobre ombros de gigantes".
• Acostume-se com ideias que você nunca pensaria e tenta contato com elas algumas vezes. Depois de um tempo, você começará a pensar nelas.
• Estude também o que você não gosta e o que você acha feio.
• Quanto maior a dificuldade, maior a recompensa que o cérebro te dá. Por isso, quando você passa a resolver vários problemas, seu cérebro passa a gostar daquilo.
• Não é necessário apenas que você conheça vários resultados, mas também vários problemas.
• Aprender a resolver problemas pode ser útil na sua vida. Como diria Karl Popper, "a vida consiste em responder problemas".
• Treine interpretação de texto.
• Um problema pode trazer uma certa frustração e demorar horas para ser resolvido, mas a sesação de resolver um problema "difícil" é tão boa que faz tudo valer a pena.
• Não fique desencorajado se você não resolver alguns ou nenhum problema de uma lista.
• Você só aprende a ser um bom "resolvedor" de problemas se você resolver vários problemas.

Como perder o medo?

• Uma boa maneira de fazer isto é resolver os problemas. Afinal, quando você resolve vários problemas, sua autoconfiança aumenta e sua chance de ficar nervoso diminui.
• Comece aquecendo com problemas fáceis (como aquecimento) e vá aumentando a dificuldade continuamente (e sempre desafiando o seu limite).
• Se você não consegue ficar muito tempo procurando a solução de um problema, procure estipular um tempo de tentativa para um problema. Por exemplo: "vou parar apenas depois de 15 minutos procurando a solução".
• Depois de um tempo, você não se importará (e até começará a gostar) de ficar horas (ou até dias ou semanas) pensando em um problema.
• Sinta-se solto em usar suas próprias estratégias. Se elas não resolvem o problema, pelo menos te ajudam a entender melhor.

Como começar

• Comece lendo o problema com bastante cuidado. Entenda bem os dados do enunciado. Quanto mais você entender o enunciado, mais fácil será o problema para você.
• Tome cuidado para não coletar os dados erroneamente ou interpretá-los de modo errado.
• Identifique, com cuidado, quem é a hipótese e quem é a tese.
• Pergunte-se: "quais são os raciocínios, as definições e os teoremas que eu posso usar para provar o que eu quero?".
• Quando você estiver as definições, seja bastante fiel à elas.
• Monte uma estratégia antes de começar a fazer contas.
• Em problemas mais avançados, você pode não ter uma estratégia para resolver o problema. Por isso, você deve começar com alguma investigação. Ela também vai te ajudar a entender melhor o enunciado.
• Procure deixar o problema mais fácil, por exemplo, escrevê-lo de maneira equivalente. Se esta afirmação equivalente for verdadeira, a afirmação inicial também será. Às vezes, você pode pegar um problema A, criar um problema equivalente B (mais fácil) e depois um problema equivalente C (mais fácil do que B) e assim por diante. Se você resolver último problema, também terá resolvido o primeiro.
• Se mesmo assim, você não consegue imaginar a estratégia inicial, faça pequenas perguntas sobre o enunciado e sobre a situação e procure respondê-las.
• Pergunte-se como você vai usar cada fato do enunciado.
• Você deve entender bem todas as definições por trás do problema.
• Se nenhuma ideia vier na cabeça, faça as contas de trás para frente. Imagine o problema pronto. Quais características ele deve ter? Estas características lhe ajudam em alguma coisa?
• Se a gente tiver algo muito diferente, muitas vezes vale a pena transformá-lo em algo mais familiar para a gente.
• Seja bem organizado na hora resolver o seu problema.
• Se for possível, procure elaborar um plano.
• Ao invés de dizer "isso é difícil", pergunte-se: "quais são as dificuldades?" e depois "como atacar cada uma delas separadamente?".
• Ao invés de pensar: "isso deve ser essa técnica X que eu não domino", procure resolver o problema mesmo assim. Você pode até ganhar intuição sobre a técnica ou ainda resolver de um jeito mais simples.
• Uma pessoa só te conta os segredos dela se for sua amiga. Da mesma forma, um problema só te conta os segredos se for seu amigo. Gaste um tempo sendo amigo do problema (casos pequenos, figuras etc.).
• Você pode usar uma ideia sem saber se ela vai funcionar ou não. Mesmo se ela não funcionar, pode ser que ela possa fazer você ter outras ideias.
• Se você pega intimidade com alguém, você fica mais a vontade para conversar com ela. O mesmo vale para problemas de matemática.
• Não consegue fazer algo inteligente? Faça algo estúpido. Às vezes isso pode lhe dar a ideia.
• Um problema não começa com você olhando para ele e resolvendo-o. Muitas vezes ele começa com pequenas afirmações, pequenas ideias etc.

Como entender o problema

• Veja qual tipo de problema você tem que lidar: veja se o enunciado pede para você provar ou encontrar algo.
• Faça perguntas óbvias, para que você entenda melhor ainda o problema. Inclusive existem medalhistas Fields (que é equivalente ao Nobel da Matemática) que gostam deste método, como, por exemplo, Terence Tao e Peter Scholze.
• Nomeie bem os dados do enunciado para poder organizar melhor seu problema.
• Muitas vezes, um problema é melhor entendido com um desenho ou um esquema bem feito.
• A escolha de uma boa notação pode ser crucial na resolução de um problema. Depois de escolhê-la, reescreva informações do enunciado em termos dela.
• Procure por palavras-chave. Quais são os resultados relacionados?
• Não é uma ideia ruim começar atacando o problema com ideias aleatórias que passam na sua cabeça. Se elas não resolvem o problema, pelo menos elas te ajudam a entendê-lo melhor.
• Às vezes é necessário que você leia o problema mais de uma vez.
• Procure encontrar exemplos das definições do enunciado ou das próprias afirmações contidas nele, se possível.
• Resolva casos particulares. A partir deles procure um padrão. Mas cuidado: fazer exemplos ou casos particulares não resolve o problema, é preciso provar.
• Pense em um problema separado que seja parecido mas com algumas complicações a menos. Ignore certas partes do problema original. Isto não vai resolver seu problema, mas pode te ajudar a ter alguma ideia.
• Um problema pode ser reformulado de mais de uma maneira. Procure pensar em outras maneiras de vê-lo.
• Seja um bom observador. Às vezes um problema só sai se você observar algum detalhe específico.
• Se o enunciado der uma definição e exemplos, procure entender bem estes exemplos e como eles se encaixam na definição.
• Separe: o que o enunciado te deu e o que ele quer que você prove. Lembre-se: se o enunciado quer que você prove algo, então você não pode usar este fato.
• Veja quais são as restrições do problema.
• Pergunte-se: "quais são as coisas que me incomodam neste problema?" e procure você ver como você irá lidar com essas coisas.
• Em vários problemas a compreensão é incompleta (por mais que você ache que entendeu). Por isso, depois de certo progresso, vale a pena voltar algumas vezes quando sentir que precisa ter alguma ideia.
• Anotar os dados também pode ajudar.
• Talvez alguns detalhes só serão importantes depois que você entender o enunciado, fazer outras contas e descobrir certas coisas. Por isso, se algum detalhe não fazer sentido, continue a mexer no problema e volte nele depois.
• Gastar muito tempo entendendo um problema não é um tempo mal gasto. Isso pode fazer com que você coloque coisas na sua memória de melhor forma e que você não precise ficar voltando para o enunciado.
• Isole as principais partes do seu problema:
  • o que você tem
  • onde você quer chegar
• Considere as principais partes do problema, uma por uma, considere as várias combinações relacionando cada detalhe com outro e isso com o problema completo.

Como Ter Ideias

• Descubra características sobre o problema.
• Pergunte-se como você pode usar cada uma das informações do enunciado.
• Pensar no problema de trás para frente pode ajudar.
• Entenda cada um dos dados do problema e pergunte-se quais estratégias você pode usar em cada um deles.
• Fique tranquilo, às vezes você só consegue pensar em uma ideia boa só depois de ter várias ideias erradas.
• Boas ideias são baseadas nas experiências passadas e no conhecimento adquirido.
• Em alguns casos, você só consegue ter ideias boas se descobrir alguns fatos legais. Por isso, se você não conseguiu ter a ideia, continue explorando coisas sobre o problema. Talvez a ideia só virá depois disso.
• Pergunte-se: “Você conhece algum problema relacionado? As ideias dele podem me ajudar aqui?”
• Às vezes, boas ideias só aparecem depois de você mexer um bom tempo em um problema (mesmo que você não consiga progredir muito).
• Existe alguma coincidência no enunciado? Você pode aproveitá-las?
• Considere o problema de vários ângulos. Enfatize partes diferentes, exatamente diferentes detalhes repetidamente de maneiras diferentes.
• Combine os detalhes de modos diferentes.
• Procure ver algum significado em cada detalhe e como isso pode te levar a uma interpretação nova do todo.
• Combine os dados do enunciado com os seus conhecimentos prévios e com os problemas parecidos que viu no passado. O que lhe ajudou a resolver esses problemas?
• Não necessariamente você terá boas ideias no começo. Às vezes, para as ideias corretas surgirem, é necessário ter várias ideias erradas.
• Para uma pessoa te contar um segredo, primeiro ela precisa ser muito amiga sua. O mesmo vale para problemas de matemática: para eles lhe contarem segredos, você precisa ser amigo dele.
• Você consegue colocar elementos auxiliares (ou seja, elementos novos que ajudam na resolução de problemas, como retas auxiliares ou novas incógnitas)? Maneiras de conseguir elementos auxiliares são:
  • Pense nas definições e o que elas envolvem (por exemplo, a definição de círculos envolve raios e traçar novos raios pode ser útil).
  • Pense em elementos que transformem o problema em algo que você já sabe mexer (por exemplo, se você já sabe que a soma dos ângulos de um triângulo é $180^{\circ}$ e quer achar a soma dos ângulos de um quadrilátero, trace a sua diagonal (elemento auxiliar) para transformar em dois triângulos).
  • Lembre-se de resultados conhecidos.
  • Cuidado em inserir elementos auxiliares desnecessários.
  • Pense também em colocar elementos auxiliares de forma a ganhar propriedades boas ou objetos com propriedades boas.
• Raramente a solução de um problema vêm sem nenhum esforço mental e sim quando você gasta tempo pensando em várias coisas sobre o problema.
• Mexer em certos elementos do problema pode parecer não levar a nada, mas vale a pena fazer pois isso vai acostumar sua mente com o problema, te fazer coisas que você demoraria para perceber sozinho e quem sabe te dar a ideia que te levaria realmente a um bom lugar.
• E se algo for muito geral? Por exemplo, passear por tabuleiro ou escolher números? Uma boa maneira é começar com as ideias ou com os exemplos mais simples possíveis e, se necessário, suba um pouco o nível deles.

Estratégias para resolver o problema

• Montar uma estratégia antes de resolver o problema, pode economizar muito o seu tempo.
• Uma maneira é "olhar para o penúltimo passo". Você ter em mente: "qual a afirmação que devo provar para, a partir dela, ser imediato a conclusão do problema". Então, ao invés de focar no final, você foca no penúltimo passo. É como você querer chegar na casa de um amigo. Ele pode te explicar como se chega na casa dele, a partir de um mercado famoso. Se você souber fazer isso, a única coisa a se preocupar agora é como chegar no mercado.

Exemplo: Se um problema pedir para que você calcule um certo ângulo e estar no triângulo, você pode focar em achar os outros dois ângulos do triângulo. Afinal, se você souber a medida de dois ângulos de um triângulo você consegue achar a do terceiro (basta usar o fato de que a soma dos ângulos de um triângulo é $180^{\circ}$).

• "Suje as mãos": faça casos particulares (e conjecture coisas a partir deles), encontre informações extras sobre o problema. Você não precisa resolver o problema de imediato: dá para fazer algumas descobertas separadas e usá-las depois para resolver o problema (uma pessoa que usava bastante este método Gauss, considerado por muitos o maior matemático que já existiu).
• Durante a resolução, imaginar alguns problemas parecidos e mais fáceis pode lhe ajudar a ter as ideias principais do problema.
• Procure fazer esquemas, desenhar ou fazer tabelas para entender bem o problema e organizar as suas ideias.
• Quais são os tópicos relacionados com o problema. Será que existe algum que você não está usando?
• Se diretamente você não conseguir resolver, procure ver se a prova por absurdo é mais fácil.

Durante a Execução da Ideia

• Seja cuidadoso para não errar nenhuma conta por besteira.
• Cuidado: às vezes você termina uma conta, mas não descobre o que o enunciado pediu. Sempre verifique se o que você achou era o que enunciado estava pedindo.
• Se você disser: "nossa, isso vai dar trabalho" pense: "como posso fazer meu trabalho ficar mais fácil?".
• Depois de pensar na ideia, uma boa maneira de evitar erros bobos é ser cuidadoso na hora de escrever.
• Às vezes vale a pena nomear objetos especiais. Por exemplo, se em uma problema aparecer um objeto (que pode ser uma pessoa, uma casa do tabuleiro etc.) que será importante no raciocínio, nomeá-lo pode lhe ajudar a pensar melhor.
• Talvez você fique desviado por causa de suas ideias. Mas você deveria ser grato pelas suas ideias, inclusive pelas ideias ruins. Mesmo que uma ideia não seja tão boa, ela pode fazer com que o seu conhecimento aumente.

Quando você travar

• Comece conferindo para ver se você não errou nada.
• Procure se perguntar: "onde é mesmo que eu queria chegar". Em outras palavras: foque na tese. Procure encontrar uma conexão entre o que você já tem e a tese.
• Veja se você está usando todos os dados do enunciado na sua resolução.
• Pergunte-se quais são os resultados relacionados com o problema? Algum deles você ainda não usou?
• Pergunte-se: "será que a notação que eu usei foi boa ou eu preciso usar outra?".
• Você deve repensar no problema com outro ponto de vista. Até explorar todos (ou a maior quantidade de) lados possíveis do problema.
• Procure se perguntar: "estou impondo regras no problema que não existem?"
• Entenda exatamente as suas dificuldades e o que você precisa fazer para melhorar.
• Repasse pelas ideias que você já usou. Às vezes você pode imaginar algo que não tinha pensado antes. Ou ainda pode corrigir alguma coisa que fez errado.
• Identifique a dificuldade e crie um problema separado sem essa dificuldade ou mais fácil do que original. Resolva esse problema. Mas você pode estar pensando: "isso não faz eu resolver o problema original". De fato, mas isso ajuda você a ter outras ideias no problema.
• Faça uma relação que envolva o que você tem com o que você quer.
• Às vezes, aquela ideia que está na sua cabeça, mas você não quer usar é a ideia correta. Por isso, não tenha medo de mexer nelas. Se algo favorece a sua solução, então vale a pena usá-lo.
• Fique tranquilo: o tempo que você gasta em problemas que não consegue resolver não será inútil, afinal você ainda está desenvolvendo "musculatura" para ter uma ideia boa ou para resolver outros problemas.
• Faça pequenas perguntas sobre os problemas (perguntas que você pode até considerar bobas, mas que não são).
• Além de perguntas sobre a teoria, pergunte-se:
  • "O que estou fazendo?"
  • "Onde quero chegar?"
  • "Qual estratégia estou usando?"
  • "Quais outras estratégias posso usar que ainda não usei?"
  • "Usei todos os dados do enunciado?"
  • "Por que travei?"
  • "Quais as minhas dificuldades neste problema?"
  • "Preciso estudar alguma coisa?"
• Varie os dados do enunciado e procure pensar nesse novo problema. Talvez ele vai te ajudar a ter a ideia do problema principal.
• Ás vezes você pode estar imaginando algum dado que não existe. Confira se tudo o que você está usando está correto.
• Procure entender o motivo da sua ideia não estar dando certo.
• Pergunte-se: "o que está atrapalhando" e procure atacar isso.
• Talvez vale a pena considerar outros objetos e outras notações na sua solução.
• Vá calcular outras coisas que o problema não pede. Talvez você descubra ideias interessantes que podem ajudá-lo a resolver o problema.

Depois de resolver o problema ou de ler a solução

Sim: depois que você resolve algum problema, ainda vale a pena analisar a sua solução. Isso fará você organizar melhor suas ideias e se preparar para outros problemas. Além de lhe ajudar a ver se existe alguma coisa errada na solução.

• Leia a questão novamente antes de acabar para ver se você respondeu exatamente o que pediu ou está no meio da conta.
• Entenda de verdade o que aconteceu na sua resolução, como uma informação levou a outra.
• Se você ler a solução e dizer: "nossa, nunca pensaria nisso", fique feliz. Afinal você aprendeu uma ideia nova e pode usar ela em outros lugares. Quanto mais você se apropriar de novas ideias e lidar com várias ideias diferentes, mas apto você estará para criar a sua própria ideia.
• Procure entender o porquê da sua ideia ter dado certo.
• Se uma ideia der errado no meio da resolução, procure também entender o motivo. Pergunte-se: "como posso melhorar neste assunto?". Isto vai lhe dar maturidade para entender melhor a teoria, o problema e ajudará você a cometer menos erros no futuro.
• Faça a prova real para ver se sua conta está correta.
• Faça conexões entre problemas. As ideias que serviram para este problema podem ser usadas para resolver quais outros problemas?
• Procure ser capaz de explicar o raciocínio sem usar o papel.
• Pergunte-se:
  • "Quais outros tipos de problema as ideias resolveriam?"
  • "Será que eu consigo melhorar a minha solução?"
• Procure outras soluções. Isto pode lhe ajudar a entender melhor o problema.
• Mesmo que você não tenha resolvido um problema, se você de fato pensou nele por um tempo suficiente, alguma coisa você aprendeu.
• Entenda quais as dificuldades que você teve durante a resolução do problema.

E quanto aos problemas de geometria?

• Desenhe as figuras com régua e compasso. Isto vai te ajudar a ter mais precisão e até a suspeitar de fatos que você não conseguiria se tivesse desenhado sem esses instrumentos. Se você suspeitar de algo procure prová-lo. Talvez isso possa lhe poupar um certo, já que essa ideia poderia demorar mais para surgir se você estivesse procurando de outra forma.
• Você pode começar apenas com um desenho rascunho em que não necessariamente segue as proporções do enunciado para que você se acostume com o problema. A partir do momento que você entendeu melhor o problema, você já pode criar uma figura bem feita (de preferência com régua e compasso).
• Sempre pergunte-se: "quais são os objetos da figura?", "quais propriedades legais estes objetos têm?".
• CUIDADO EM CONCLUIR COISAS ATRAVÉS DOS DESENHOS: não é porque parece no seu desenho que duas retas são perpendiculares, que elas realmente são. É necessário provar as suas afirmações. Apenas o desenho não prova.
• Relacione as medidas que você quer com outras as propriedades da figura.
• Sabe aquela pessoa que você nunca viu ou falou na vida? Você tirar conclusões sobre ela sem ao menos conhecê-la? Não! O mesmo vale para problemas geométricos: você primeiro precisa encontrar o máximo de informações possíveis (ângulos, medidas etc.) para depois traçar uma estratégia. Quanto mais informações você marcar, melhor.
• Às vezes vale a pena separar os raciocínios: o que podemos saber sobre ângulos? E sobre lados? Dá para relacionar (por exemplo, Teorema do Triângulo Isósceles ou Trigonometria)?
• Em certos problemas de geometria, você deve provar vários pequenos fatos que juntos te dão a solução do problema.
• Se um problema de geometria tiver muitas informações, faça uma outra figura apenas com elementos essenciais para o que você estiver explorando no momento.
• Procure por objetos que possuem bastantes propriedades, como por exemplo, triângulos isósceles, quadriláteros inscritíveis etc.
• Quanto mais a medida que você quer calcular estiver "espalhada" na figura, ou seja, quanto mais medidas de outras coisas você tiver em função desta que você quer calcular, melhor.
• Se você travar, foque em outros objetos da figura.
• Quando você tiver que falar sobre um certo objeto da figura, pense em quais propriedades o define.

Truque do Inconsciente

Sabe aquele dia, logo após discutir com alguém sobre algum assunto, vem na sua cabeça o argumento perfeito? Sabe quando você não consegue lembrar o nome de uma pessoa, mas a resposta vem depois de um certo tempo depois, sem ao menos você estar pensando na pessoa? Sabe quando você não consegue responder alguma pergunta em uma prova, mas a resposta vem só depois que você saiu dela?

Pois é, em todos os casos aconteceu uma coisa: você não estava pensando, mas o seu inconsciente estava. Por isso, quando você não consegue resolver um problema (fora de uma prova), tudo bem tirar um tempo: o seu subconsciente, talvez, continue pensando nele. E quando você voltar a fazer o problema, talvez ele saia muito mais fácil. Ou ainda, a ideia poderá surgir de repente na sua cabeça.

Seus problemas também podem sair durante os devaneios (que é quando você está "sonhando acordado). Durante eles, estão ativas várias áreas do cérebro ligadas à resolução de problemas complexos. E talvez seja este o único momento que estas áreas estão ativas ao mesmo tempo. É por isso que nestes momentos podem ocorrer insights.

Por exemplo, o grande matemático Poincaré tinha duas horas de trabalho na manhã e duas horas de trabalho no início da noite. Era entre esses dois períodos que ele deixava o seu inconsciente trabalhar nos problemas.

Quando estamos relaxando, o cérebro opera de modo difuso. E é aí que podem aparecer as ideias legais. O inconsciente trabalha mais livre quando estamos relaxados.

Problemas Com "Se, e Somente Se"

Se você que tiver que provar algo da forma "$p$ se, e somente se, $q$, então você precisa provar duas coisas:

• "se $p$, então $q$",
• "se $q$, então $p$".

Você pode entender um pouco melhor sobre isso no artigo sobre Lógica.

Como Provar que Algo é Único

Uma das maneiras é supor que existam dois objetos, digamos X e Y, e depois provar que eles são iguais.

Problemas de Existência

Uma das principais maneiras de mostrar que algo existe é exibir algum exemplo.

Problemas em que Você Deve Mostrar que Existem Infinitos

Suponha que você queira mostrar que existem infinitos números com certa propriedade. Uma das maneiras que você pode fazer é supor, por absurdo, que existe um número $N$ natural tal que todo número maior que $N$ não tem essa propriedade e chegar em um absurdo.

Outra estratégia é mostrar que uma lista de números tem essa propriedade e esta lista é infinita. Por exemplo, mostrar que o resultado vale para todos os primos, para todos os ímpares etc.

Uma terceira estratégia seria encontrar uma maneira recursiva de encontrar objetos dessa lista. Em outras palavras, mostrar que a partir de um ou mais objetos, sempre podemos encontrar um próximo.

Mude Seu Ponto de Vista

Às vezes, ver o problema de outra forma, pode ajudar.

Exemplo

Um quadrado está inscrito em um círculo que está inscrito em um quadrado. Encontre a razão entre as áreas dos dois quadrados.

Solução: Observe que se rotacionarmos o quadrado menor (em torno do seu centro) sua área não muda. Rotacionemos o quadrado menor $45^{\circ}$.

Os vértices do quadrado coincidiram com os pontos de tangencia. Basta traçarmos as diagonais para ver que a área do quadrado menor é metade da do maior.

Relacione com Problemas que Você Conhece

Às vezes conhecer a resolução de problemas parecidos pode lhe ajudar na resolução.

Exemplo

Calcule o valor de $x$ na figura a seguir.

Solução: Você já resolveu algum problema com ângulo de $90^\circ$ em que sabia alguns lados de uma figura e precisava calcular outros? Se você já estudou sobre o teorema de Pitágoras, provavelmente sim. Nesses casos, você provavelmente tinha um triângulo retângulo, sabia dois lados e queria achar o terceiro.

Mas a questão é: não temos um triângulo retângulo nessa figura. Mas será que podemos fazer aparecer um? Sim. Ao fazermos isso e lembrarmos que os lados opostos de um retângulo possuem mesma medida:

Agora temos um problema que já sabemos como resolver: um triângulo retângulo em que sabemos dois dos lados. Se usarmos o teorema de Pitágoras,

$x^{2}=3^{2}+4^{2}\Leftrightarrow x^{2}=9+16\Leftrightarrow x^{2}=25\Leftrightarrow x=5.$

Relacione com Objetos Conhecidos

Às vezes, associar um problema com objetos que você já conhece bem e sabe que tem propriedades legais, pode ajudar.

Exemplo

Na figura a seguir, $AB$ é paralelo a $CD$. Determine o valor de $x$.

Solução 1: Dois ângulos de $60^{\circ}$ nos lembra alguma coisa? Sim: de triângulos equiláteros. Mas na figura não existem triângulos. Ora podemos fazer aparecer um. Se prolongarmos $CA$ e $DB$ para que eles se encontrem em um ponto $E$, o triângulo $ECD$ terá dois ângulos de $60^{\circ}$ e por isso será equilátero.

Mas observe que $AB$ é paralelo a $CD$. Desta forma, $\angle EAB=\angle EBA=60^{\circ }$ e assim o triângulo $EAB$ é equilátero. Com isso, $EA=EB=12$. E como $ECD$ é equilátero, podemos concluir que

$x=CD=CE=AC+EA=18+12=30.$

Solução 2: Também podemos aqui fazer triângulos equiláteros aparecerem. Considere $E$ um ponto sobre $CD$ tal que $\angle AEC=60^{\circ }$. Observe que o triângulo $ACE$ é equilátero. Com isso, $AE=18$ e $CE=18$. Além disso, $BD$ é paralalelo a $AE$ e com isso $ABDE$ é um paralelogramo. Desta forma, $ED=12$. Portanto,

$x=CD=CE+ED=18+12=30.$

Prova por Absurdo

Ao invés de provarmos algo diretamente, começamos assumindo que a afirmação é falsa e mostrarmos que isto nos leva a uma afirmação absurda (ou a uma contradição). Chamaremos isto de prova por absurdo (ou prova por contradição). Um resumo disto seria:

Este tipo de argumento costuma ser útil quando queremos provar que algo não pode ocorrer, mas nada impede de usarmos ele para provarmos que algo afirmativo também.

Em geral, quando é interessante usarmos a prova por absurdo? Quando a negação do que queremos provar parece mais fácil de se mexer do que a afirmação original.

E por que funciona? Simplesmente do fato de que você não pode concluir algo falso de uma afirmação verdadeira.

Exemplo

Prove que se $x^2$ é par, então $x$ é par.

Solução: Suponha, por absurdo, que $x$ é ímpar. Então $x^2$ é ímpar. Contradição. Logo, $x$ é par.

Exemplo

Prove que $\sqrt{2}$ é irracional.

Solução: Suponha, por absurdo, que $\sqrt{2}$ seja racional. Com isso, existem $a$ e $b$ naturais tais que

${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}.$

Tomemos $a$ e $b$ de forma que a fração seja irredutível. Observe que

${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}\Leftrightarrow a={\sqrt {2}}b\Leftrightarrow a^{2}=2b^{2}.(*)$

Desta forma, $a^2$ é par. Por um exemplo anterior, $a$ é par e com isso, existe $t$ inteiro tal que $a=2t$. Se substituirmos em $(*)$:

$(2t)^{2}=2b^{2}\Leftrightarrow b^{2}=2t^{2}.$ Mas isto contradiz o fato de que a fração é irredutível. Logo, $\sqrt{2}$ é irracional.

Exemplo

Prove que a média aritmética entre dois números é maior ou igual a um deles.

Solução: Sejam $a$ e $b$ estes números. A média aritmética entre eles é $\frac{a+b}{2}$. Suponha, por absurdo, que este número é menor do que $a$ e $b$ ao mesmo tempo. Então

${\frac {a+b}{2}}<a\Leftrightarrow a+b<2a\Leftrightarrow b<a.(*)$

Além disso,

${\frac {a+b}{2}}<b\Leftrightarrow a+b<2b\Leftrightarrow a<b.(**)$

Observe que $(*)$ e $(**)$ se contradizem. Logo a média aritmética é maior ou igual a $a$ ou $b$.

Problemas do Tipo "Se $p$ então $q$ ou $r$"

Se você tiver que provar algo do tipo $p$ ou $q$, existem algumas estratégias.

1ª Estratégia: Supor que $q$ é falso e concluir que $r$ é verdadeiro (ou vice-versa).

Exemplo: Prove que se $xy=0$, então $x = 0$ ou $y=0$.

Solução: Vamos supor que $x = 0$ é falso, ou seja, $x$ é diferente de zero. A partir daí, provaremos que $y=0$ é verdadeiro. De fato, se $x$ é diferente de zero, podemos dividir os dois lados da seguinte igualdade por $x$:

$xy=0\Rightarrow {\frac {xy}{x}}={\frac {0}{x}}\Rightarrow y=0.$

$\blacksquare$

2ª Estratégia: Suponha que $q$ e $r$ são falsos e chegue em um absurdo.

Exemplo: Prove que se $xy=0$, então $x = 0$ ou $y=0$.

Solução: Suponha que $x = 0$ e $y=0$ são falsos, ou seja, que $x$ e $y$ são diferentes de zero. Então existem quatro possibilidades:

(i) $x$ e $y$ são maiores do que $0$

Aqui $xy>0$. Absurdo.

(ii) $x$ e $y$ são menores do que $0$

Análogo.

(iii) $x$ é maior do que zero e $y$ é menor

Análogo

(iv) $y$ é maior do que zero e $x$ é menor

Análogo.

$\blacksquare$

Monte uma Estratégia Pensando no Final

Imagine que você esteja em casa e queira chegar a um mercado.

Mas você ainda não sabe o caminho. Uma maneira é então tentar descobrir: o que existe perto do mercado? Imagine que exista uma lotérica.

Se você sabe ir da lotérica até o mercado e da casa até a lotérica, então você tem um caminho pra ir da casa até o mercado.

Isso vale para problemas também: imagine que você quer chegar em um objetivo. Uma maneira é chegar a algo próximo a ele e depois chegar no final.

Exemplo

Seja $ABC$ um triângulo, com $AB=AC=5$ e $BC=8$. Determine sua área.

Solução: Sim, esse problema sai com a fórmula de Heron. Não faremos isso aqui, já que estamos tentando ilustrar essa estratégia de resolver problemas. Queremos chegar na área do triângulo. Mas não parece haver um caminho tão rápido assim. Por isso, vamos pensar em coisas "próximas da área". Sabemos que se tivermos uma base e uma altura, conseguimos a área. Portanto, vamos nos dedicar a encontrar a base a altura do triângulo.

Qualquer um dos lados do triângulo pode servir como base. Mas qual será a melhor? Aqui podemos aproveitar um resultado a nosso favor: em um triângulo isósceles, a altura relativa à base divide-a no meio. Por isso, considere $D$ sobre $BC$ tal que $AD$ seja perpendicular a $BC$. Queremos calcular a altura, ou seja, $AD$. Mas, como a altura divide a base no meio (no triângulo isósceles), segue que $BD=DC=4$.

Assim, podemos aplicar o teorema de Pitágoras tanto no triângulo $ADC$ quanto no triângulo $ADB$. Em ambos os casos, iremos obter $AD=3$. Desta forma, a área do triângulo $ABC$ será igual a

${\frac {8\cdot 3}{2}}=12.$

Método da Análise e da Síntese

Resumidamente falando, vale a pena imaginar o problema pronto para ver se alguma ideia pode aparecer.

• Análise: imaginamos que o que você está procurando já está provado. Veja quais consequências aquilo irá lhe dar. Dessas consequências, veremos o que podemos tirar e assim por diante. Faremos isto até que em algum momento chegamos a algo conhecido ou que possa nos dar alguma ideia.
• Síntese: faremos o processo inverso do da análise. Tomaremos o fato conhecido que chegamos na análise (ou a própria ideia) e partiremos dela e chegaremos onde queremos.

Exemplo

Sejam $ABC$ um quadrado e $M$ o ponto médio de $AB$. A reta perpendicular a $MC$ passando por $M$ encontra $AD$ em $K$. Prove que $\angle BCM=\angle KCM$.

Solução:

Análise: Vamos imaginar o problema pronto. O que podemos extrair disso? Se $\angle BCM=\angle KCM$, como $\angle CBM=\angle CMK=90^{\circ }$, segue que os triângulos $BCM$ e $MCK$ são semelhantes pelo caso $AA$. E o mais legal é que se provarmos a semelhança, então provamos o que o enunciado quer.

Síntese: Vamos mostrar que essa semelhança é verdadeira. Já sabemos que $\angle CBM=\angle CMK=90^{\circ }$. Se provarmos que ${\frac {BM}{MK}}={\frac {BC}{MC}}(*)$, nosso problema estará resolvido. Para isso, vamos procurar calcular cada uma das medidas em função do lado do quadrado $ABCD$. Seja $x$ este valor.

Desta forma, $BC=x$ e como $M$ é ponto médio de $AB$, segue que $BM={\frac {x}{2}}$. Se aplicarmos o teorema de Pitágoras no triângulo $BMC$, iremos conseguir o valor de $MC$. De fato, por ele

$MC^{2}=BC^{2}+BM^{2}$

$MC^{2}=x^{2}+\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}$

$MC^{2}=x^{2}+{\frac {x^{2}}{4}}$

$MC^{2}={\frac {4x^{2}+x^{2}}{4}}$

$MC^{2}={\frac {5x^{2}}{4}}$

$MC={\sqrt {\frac {5x^{2}}{4}}}$

$MC={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {x^{2}}}}{\sqrt {4}}}$

$MC={\frac {x{\sqrt {5}}}{2}}.$

Resta calcularmos $MK$. Como faremos isto? Se aplicarmos o teorema de Pitágoras no triângulo $AMK$ quase podemos descobrir este valor: afinal sabemos que $AM={\frac {x}{2}}$. O problema é que ainda não sabemos o valor de $AK$. Parece que não há tanto a se falar sobre lados. Vamos procurar informações sobre ângulos.

Considere $\theta =\angle MCB$. Como a soma dos ângulos internos do triângulo $BMC$ é $180^{\circ}$,

$90^{\circ }+\theta +\angle BMC=180^{\circ }$

$\angle BMC=180^{\circ }-90^{\circ }-\theta$

$\angle BMC=90^{\circ }-\theta .$

Além disso, como $\angle KMC=90^{\circ }$, segue que

$90^{\circ }-\theta +90^{\circ }+\angle AMK=180^{\circ }$

$180^{\circ }-\theta +\angle AMK=180^{\circ }$

$-\theta +\angle AMK=0$

$\angle AMK=\theta .$

Desta forma, os triângulos $BCM$ e $AMK$ são semelhantes pelo caso $AA$, pois $\angle CBM=\angle MAK=90^{\circ }$. Assim

${\frac {AK}{BM}}={\frac {AM}{BC}}$

${\frac {AK}{\frac {x}{2}}}={\frac {\frac {x}{2}}{x}}$

${\frac {AK}{\frac {x}{2}}}={\frac {x}{2}}\cdot {\frac {1}{x}}$

${\frac {AK}{\frac {x}{2}}}={\frac {1}{2}}$

$AK={\frac {x}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}$

$AK={\frac {x}{4}}.$

Agora sim: ao aplicarmos o teorema de Pitágoras no triângulo $AMK$,

$MK^{2}=AK^{2}+AM^{2}$

$MK^{2}=\left({\frac {x}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}$

$MK^{2}={\frac {x^{2}}{16}}+{\frac {x^{2}}{4}}$

$MK^{2}={\frac {x^{2}+4x^{2}}{16}}$

$MK^{2}={\frac {5x^{2}}{16}}$

$MK={\sqrt {\frac {5x^{2}}{16}}}$

$MK={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {x^{2}}}}{\sqrt {16}}}$

$MK={\frac {x{\sqrt {5}}}{4}}.$

Agora sim podemos provar $(*)$. Com efeito,

${\frac {BM}{MK}}={\frac {\frac {x}{2}}{\frac {x{\sqrt {5}}}{4}}}={\frac {x}{2}}\cdot {\frac {4}{x{\sqrt {5}}}}={\frac {2}{\sqrt {5}}}={\frac {2{\sqrt {5}}}{5}}.$

Além disso,

${\frac {BC}{MC}}={\frac {x}{\frac {x{\sqrt {5}}}{2}}}=x\cdot {\frac {2}{x{\sqrt {5}}}}={\frac {2}{\sqrt {5}}}={\frac {2{\sqrt {5}}}{5}}.$

Desta forma, $(*)$ fica demonstrada e assim os triângulos $BCM$ e $MCK$ são semelhantes, de onde segue que $\angle BCM=\angle KCM$.

Problemas em que Você deve "Construir"

Existem problemas em que você deve construir números, conjuntos, figuras ou outros objetos matemáticos que satisfazem certas condições. Neste caso, uma estratégia comum é imaginar o problema pronto e ver quais características ele terá. Elas podem lhe ajudar a construir o objeto depois. Da mesma forma que um pedreiro precisa ter a planta da casa para saber as características que ela terá.

Lugares Para Estudar

• A aula da Semana Olímpica de 2019: Princípio KISS (Armando Barbosa)
• A aula da Semana Olímpica de 2020: Casos Particulares, Indução e Algoritmos (Carlos Yuzo Shine). Ela possui alguns exercícios que podem ser encontrados resolvidos aqui.

Páginas Relacionadas

• Lógica
• Raciocínio Lógico (Sem Contas)
• Raciocínio Lógico (Com Contas)

Bibliografia

• G. Polya : How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method, Princeton University Press

• P. Zeitz : The Art and Craft of Problem Solving, Wiley; International Student edition, 2006.

• AVERBACH, Bonnie; CHEIN, Orin . Problem Solving Through Recreational Mathematics. San Francisco: Dover Publications, 1993. 458 p.
• Intuiton Pumps and Other Tools for Thinking - Daniel Dennett
• Mathematical Creation - Henri Poincaré, encontrado em http://vigeland.caltech.edu/ist4/lectures/Poincare%20Reflections.pdf
• The Psychology of Invention in Mathematical Field - Jacques Hadamard
• Didática da Resolução de Problemas de Matemática - Luiz Roberto Dante
• A.S. Posamentier, C.T. Salkind : Challenging Problems in Geometry, Dover Publications, 1996.