Triângulos

Um triângulo é um polígono de três lados. Em outras palavras, um triângulo é uma figura formada por três pontos não alinhados $A, B$ e $C$ e pelos segmentos $AB,BC$ e $CA$.

Nesta definição, $A, B$ e $C$ são chamados de vértices e $AB,BC$ e $CA$ de lados. Podemos denotar um triângulo de vértices $A$, $B$ e $C$ por $\triangle ABC$.

Os ângulos $\angle ABC$, $\angle BCA$ e $\angle CAB$ são chamados de ângulos internos do triângulo $ABC$.

Seja $ABC$ um triângulo e $D$ um ponto no prolongamento do lado $AC$ tal que $A$ está entre $C$ e $D$. Então $\angle BAD$ é um ângulo externo adjacente ao ângulo $\angle BAC$.

Se $ABC$ for um triângulo, dizemos que $\angle A$ é oposto ao lado $BC$ ou que $BC$ é oposto ao ângulo $\angle A$.

É comum considerarmos as medidas dos lados opostos aos ângulos $A, B$ e $C$ como sendo $a, b$ e $c$, respectivamente.

O perímetro de um triângulo é a soma das medidas de seus lados (em outras palavras, é o tamanho do contorno da figura). Já o semiperímetro é a metade do perímetro. Este é geralmente denotado por $p$.

Proposição

A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$.

Prova: Considere $ABC$ um triângulo qualquer e $\alpha=\angle BAC$, $\beta=\angle ABC$ e $\gamma =\angle BCA$.

O problema aqui é que queremos somar os ângulos que estão "longe" um do outro. Seria legal se eles estivessem mais perto. Será que podemos resolver isso? Sim: com as retas paralelas. Como funciona isso? Considere $r$ uma reta paralela a $BC$ passando por $A$.

E o que a gente ganha com isso? Ângulos alternos internos! Considere $D$ e $E$ pontos conforme a figura a seguir. Observe que, como são alternos internos:

$\angle BAD=\angle ABC=\beta$

$\angle CAE=\angle ACB=\gamma .$

Agora sim: os ângulos estão juntos e podemos somá-los! De fato, $\alpha+ \beta+ \gamma = 180^\circ$.

Teorema do Ângulo Externo

A medida de um ângulo externo é igual a soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes.

Observação

Uma consequência direta do Teorema do Ângulo Externo é que um ângulo externo é sempre maior do que um ângulo interno não adjacente.

Classificação de um Triângulo Quantos Aos Lados

Um triângulo $ABC$ é chamado de isósceles de base $BC$ se $AB=AC$. Neste caso, $BC$ é chamado de base e $AB$ e $CA$ são chamados de laterais. Além disso, os ângulos $\angle B$ e $\angle C$ são chamados de ângulos da base. Podemos ainda nos referir a esse triângulo como "triângulo isósceles em $\ A$".

Um triângulo é equilátero se possui todos os lados de mesmo tamanho.

Observe que todo triângulo equilátero é isósceles.

Um triângulo é chamado de escaleno se todos os seus lados possuem medidas diferentes.

Teorema do Triângulo Isósceles

Se um triângulo $ABC$ é isósceles de base $BC$, então $\angle ABC=\angle ACB$. Em outras palavras, em um triângulo isósceles, os ângulos da base possuem as mesmas medidas.

Também vale a recíproca do teorema, ou seja, se $\angle ABC=\angle ACB$, então o triângulo $ABC$ é isósceles de base $BC$.

Uma coisa interessante que esse resultado nos dá é a seguinte: se soubermos um ângulo qualquer de um triângulo isósceles, automaticamente poderemos conhecer os outros dois.

Corolário

Cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede $60^{\circ}$.

Observação

Se um triângulo é isósceles e algum de seus ângulos mede $60^{\circ}$, então ele é equilátero.

Classificação de um Triângulo Quanto aos Ângulos

Um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto. Mais especificamente, a gente diz que $ABC$ é um triângulo retângulo em $A$ quando $\angle BAC = 90^{\circ}$.

O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Os outros dois são chamados de catetos. A hipotenusa é sempre maior que cada um dos catetos.

Um triângulo é chamado de acutângulo se todos os seus ângulos são agudos, isto é, medem menos do que $90^\circ$.

Chamaremos um triângulo de obtusângulo se algum dos seus ângulos for obtuso, isto é, medir mais do que $90^\circ$.

Exemplo

É possível ter dois ângulos em um triângulo que são maiores ou iguais a $90^\circ$?

Solução: Se isso ocorresse, a soma deles seria maior ou igual a $180^{\circ}$. Mas a soma dos três deve ser $180^{\circ}$. Por isso, o terceiro deve ter medida menor ou igual a $0^{\circ}$, o que é um absurdo. Desta forma, devemos ter no máximo um ângulo com medida maior ou igual a $90^\circ$ em um triângulo.

Ponto Médio da Hipotenusa

Seja $ABC$ um triângulo retângulo em $B$. Se $M$ é o ponto médio da hipotenusa $AC$, então $AM=BM=CM$.

Proposição

Se $M$ é um ponto da hipotenusa $AC$ tal que $MA=MB$, então ele será o ponto médio da hipotenusa.

Podemos resumir tudo da seguinte maneira: se um ponto da hipotenusa é equidistante a dois dos vértices, então ele é o ponto médio da hipotenusa.

Proposição

Seja $ABC$ um triângulo e $M$ um ponto sobre o lado $BC$ tal que $MA=MB=MC$. Então $\angle BAC = 90^{\circ}$.

Prova: Considere $\beta=\angle ABC$ e $\gamma=\angle ACB$. Como $AMB$ e $AMC$ são triângulos isósceles de bases $AB$ e $AC$, segue que $\angle BAM=\beta$ e $\angle MAC=\gamma$. Como a soma dos ângulos do triângulo $ABC$ é $180^{\circ}$, segue que

$\beta +\beta +\gamma +\gamma =180^{\circ }\Leftrightarrow 2\beta +2\gamma =180^{\circ }\Leftrightarrow 2(\beta +\gamma )=180^{\circ }\Leftrightarrow \beta +\gamma ={\frac {180^{\circ }}{2}}=90^{\circ }.$

Com isso, $\angle BAC=\beta +\gamma =90^{\circ }$.

Definição

Sejam $ABC$ um triângulo e $D$ um ponto sobre a reta $BC$. Dizemos que $AD$ é altura relativa à $BC$ (ou à $A$) quando ela for perpendicular a $BC$. Neste caso, $D$ é chamado pé da altura relativa à $A$ (ou à $BC$).

Em triângulos obtusos, duas das alturas "estão fora" dele. Mais precisamente, em um triângulo $ABC$, as alturas relativas a $A$ e $C$ são externas ao triângulo se, e somente se, $\angle ABC$ é obtuso.

Definição

Sejam $ABC$ um triângulo e $M$ o ponto médio do lado $BC$. Então o segmento $AM$ é chamado de mediana relativa ao lado $BC$ (ou relativa ao vértice $A$ ou ainda $A$-mediana).

Definição

Seja $ABC$ um triângulo e $D$ um ponto pertencente ao lado $BC$ tal que $\angle BAD = \angle DAC$. Então o segmento $AD$ é chamado de bissetriz interna (ou bissetriz interior) relativa ao ângulo $\angle A$ (ou relativa ao lado $BC$ ou desde o vértice $A$). O ponto $D$ é chamado de pé da bissetriz.

Definição

A bissetriz externa (ou bissetriz exterior) de um triângulo é a bissetriz de um ângulo externo. Mais precisamente, sejam $ABC$ um triângulo e $D$ um ponto sobre o prolongamento do lado $BC$ de tal forma que $C$ está entre $B$ e $D$. Então a bissetriz do ângulo $\angle ACD$ é chamado de bissetriz externa do ângulo $\angle C$.

Proposição

As bissetrizes interna e externa de um triângulo relativas a um mesmo vértice são perpendiculares.

Proposição

(i) Em um triângulo isósceles, a mediana relativa à base também é bissetriz e altura.

(ii) Em um triângulo isósceles, a bissetriz relativa à base também é mediana e altura.

(iii) Em um triângulo isósceles, a altura relativa à base também é bissetriz e mediana.

Proposição

Sejam $ABC$ um triângulo e $X$ um ponto sobre o lado $BC$.

(i) Se $AX$ é uma mediana e uma altura, então o triângulo é isósceles.

(ii) Se $AX$ é uma altura e uma bissetriz, então o triângulo é isósceles.

(iii) Se $AX$ é mediana e bissetriz, então o triângulo é isósceles.

(Observação: Você pode encontrar uma prova desse último item aqui.)

Lugares Para Estudar

• A aula do POTI - Nível 1: Arquivo:Aula 04 - Ângulos.pdf
• Trabalhando com Ângulos (POTI - Nível 2)
• Algumas Propriedades Importantes do Triângulo (POTI - Nível 2)
• Problemas Resolvidos: Algumas Propriedades Importantes do Triângulo (POTI - Nível 2)
• A aula da Semana Olímpica de 2014: Marcação de Ângulos (Emiliano Chagas)
• A aula da Semana Olímpica de 2019: Ângulos (Gustavo Empinotti)

Vídeos

• Propriedades Importantes dos Triângulos (POTI - Nível 2)
• Propriedades do triângulo (POTI 2017)
• Propriedades do triângulo: Exercícios I (POTI 2017)
• Propriedades do triângulo: Exercícios II (POTI 2017)
• Propriedades do triângulo: Exercícios III (POTI 2017)
• Propriedades do triângulo: Exercícios IV (POTI 2017)

Bibliografia

• BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. 11ª. ed. [S.l.]: SBM, 2012. 257 p.