Geometria

É o estudo das figuras. A única geometria estudada no ensino médio é a euclidiana (apesar de existirem outras).

A geometria pode ser feita de maneira bem mais rigorosa, mas não é necessário a quem quer estudar apenas para olimpíadas de matemática.

Pontos e retas não possuem definição. Mas mesmo assim podemos mexer com eles.

É comum usarmos letras maiúsculas para representarmos pontos, como por exemplo $A,B,C,\dots$, enquanto costumamos usar letras minúsculas para representarmos retas, como por exemplo $r,s,t,\dots$.

Aliás, de modo geral, sempre podemos associar uma figura geométrica a uma letra para podermos nos referir a ela depois.

Se um ponto está sobre uma reta, dizemos que ele pertence à ela (ou que ele é incidente a ela). Neste caso, dizemos que a reta passa pelo ponto ou ainda que ela é incidente a ele. Se um ponto $P$ pertencer à uma reta $r$, podemos escrever $P \in r$. Caso contrário, escrevemos $P \notin r$.

O conjunto formado pelos pontos $A$ e $B$ e por todos os pontos "entre eles" é chamado de segmento $AB$ (ou se você quiser, segmento $BA$). A figura abaixo ilustra esta definição.

Um segmento $AB$ também pode ser representado por $\overline {AB}$. A sua medida pode ser representada por $AB$, $\overline {AB}$ ou $\operatorname{med}(AB)$. Os pontos $A$ e $B$ do segmento $AB$ são chamados de extremos. Alguns lugares denotam a reta que passa pelos pontos $A$, $B$ e $C$ por $\overline{ABC}$.

É comum, quando tivermos dois segmentos de mesma medida, dizer que eles são iguais. Mas o mais preciso é dizer que dois segmentos serão congruentes se possuírem a mesma medida. Se dois segmentos $AB$ e $CD$ são congruentes, alguns livros costumam escrever $AB=CD$ e outros $AB \equiv CD$ ou ainda $AB \cong CD$.

Sejam $O$ e $A$ pontos distintos. O conjunto formado pelos pontos do segmento $OA$ e pelos pontos $C$ tais que $A$ está entre $O$ e $C$ é chamado de semirreta $OA$. A semirreta $OA$ pode ser denotada por ${\displaystyle {\overrightarrow {OA}}}$ ou $S_{OA}$. Neste caso, o ponto $O$ é chamado de origem. Observe que ao escrevermos "semirreta $OA$", sempre devemos colocar a origem na esquerda.

Uma reta que passa pelos pontos $A$ e $B$ pode ser denotada por $AB$ ou por $\overleftrightarrow{AB}$.

Dados dois pontos distintos existe somente uma reta passando por eles.

Podemos marcar segmentos conforme suas medidas:

Se dois segmentos possuem a mesma marcação, então eles possuem a mesma medida. Caso contrário, eles podem não possuir a mesma medida.

A reta suporte de um segmento $AB$ é uma reta que o contém.

Às vezes estamos falando sobre um segmento $AB$, mas estamos interessados no seu sentido (ou seja, que "ele vá de $A$ para $B$"). Por isso, podemos falar sobre o segmento orientado $AB$.

Definição

Dizemos que $M$ é ponto médio de um segmento $AB$ quando $M$ pertence a $AB$ e $AM=MB$. Em outras palavras, ponto médio é aquele que está no meio do segmento.

Definição

Dizemos que o ponto $O$ é equidistante aos pontos $A$ e $B$ quando $OA=OB$.

Retas

O ponto em comum entre duas retas é chamado de ponto de intersecção (ou ponto de interseção). Neste caso, diremos que as retas se intersectam. Dizemos que duas ou mais retas são concorrentes se possuírem exatamente um ponto em comum. No caso a seguir, diremos que as retas $r$ e $s$ concorrem no ponto $P$ (ou que $r$ intersecta $s$ em $P$). Podemos escrever aqui que $r \cap s = P$.

Duas retas são paralelas se elas não possuem nenhum ponto em comum (ou, em outras palavras, elas não se encontram). Se $r$ e $s$ são retas paralelas, podemos escrever que $r \parallel s$. Caso contrário, escrevemos $r \nparallel s$. Outra maneira de falarmos que duas retas não possuem pontos em comum é escrevermos $r \cap s = \emptyset$.

Em certos lugares, pares de retas paralelas são representados conforme a figura a seguir, ou seja, fazemos as marcações para lembrarmos que certas retas são paralelas. As marcações funcionam assim: se duas retas têm o mesmo número de flechas, significa que elas são paralelas. Caso contrário, pode ser que elas não sejam.

Outra maneira de pensar em retas paralelas: são retas que possuem a mesma inclinação.

Quando duas retas $r$ e $s$ possuem todos os pontos em comum, diremos que elas são coincidentes e escrevemos $r \equiv s$.

Alguns livros dizem dizem que as retas coincidentes também são paralelas.

Dizemos que três ou mais pontos são colineares (ou alinhados) se existe uma reta que passa por todos eles.

Dados três pontos colineares $A$, $B$ e $C$, se $B$ estiver entre $A$ e $C$ podemos indicar isso por $A-B-C$.

Exemplo (Olimpíada de Matemática de Rio Preto 2021 - 1ª Fase - Nível 1)

Sobre a reta marcam-se os pontos consecutivos $A$, $B$, $C$ e $D$. Calcular a medida do segmento $BC$ sabendo que: $AD=40$, $AC=30$ e $BD=15$.

Solução: Em primeiro lugar, uma figura bem feita ajudar.

A seguir, vamos marcar as medidas que o enunciado nos deu.

Queremos $BC$. Observe que se calcularmos $CD$, conseguiremos $BC$. De fato, $BC=BD-CD$. Mas $BD=15$ (segundo enunciado). E como fazer para calcular $CD$? Repare que

$CD=AD-AC=40-30=10.$

Com isso,

$BC=BD-CD=15-10=5.$

Exemplo

Considere $A,B,X,Y$ pontos em uma reta de forma que $X$ e $Y$ estejam entre $A$ e $B$. Prove que se $\frac{AX}{XB}=\frac{AY}{YB}$, então $X$ e $Y$ coincidem.

Solução: Se provarmos que $AX=AY(*)$, o problema estará resolvido. Considere $XB=x$ e $YB=y$. Como podemos fazer para usar a igualdade do enunciado? Considere $\frac{AX}{XB}=\frac{AY}{YB}=k$. Então $AX=kx$ e $AY=ky$. Repare que se mostrarmos que $x = y$, então a igualdade $(*)$ é verdadeira.

Notemos que

$AB=AX+XB=kx+x=x(k+1).$

$AB=AY+YB=ky+y=y(k+1).$

Se compararmos as duas últimas igualdades,

$x(k+1)=y(k+1) \Leftrightarrow x=y.$

Portanto, $(*)$ fica provado e o problema resolvido.

Ângulos

Ângulo é a figura formada pela união de duas semirretas de mesma origem. Neste caso, as semirretas são chamadas de lados e a origem em comum de vértice.

No caso da figura a seguir, o ângulo pode ser representado por $\angle AOB$ ou ainda $A\hat{O}B$.

Além do mais, podemos representar o ângulo acima por $\angle BOA$. O importante é que o vértice fique no meio. Além disso, ao falarmos de um ângulo $\angle XOY$, os pontos $X$ e $Y$ devem estar um em cada lado do ângulo.

Caso não haja perigo de confusão, representaremos a medida de um ângulo simplesmente por $\angle A$ ou $\hat{A}$.

Em alguns lugares, a medida de um ângulo $\angle ABC$ é representada por $m(A\hat{B}C)$ ou $m \angle ABC$. Em outros lugares, a medida do ângulo agudo entre as retas $AB$ e $CD$ é representada por $\angle (AB,CD)$.

No caso da figura a seguir, dizemos que $C$ está no interior do ângulo $\angle AOB$.

É comum usarmos letras gregas para representarmos as medidas de ângulos, como por exemplo $\alpha$ (alfa), $\beta$ (beta), $\gamma$ (gama), $\theta$ (teta) etc. Mas isto não é uma regra: podemos usar quaisquer letras para representá-las.

Podemos marcar ângulos conforme suas medidas:

Se dois ângulos possuem a mesma marcação, então eles possuem a mesma medida. Caso contrário, eles podem não possuir a mesma medida.

Dois ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida.

Se os ângulos $\angle ABC$ e $\angle DEF$ forem congruentes, escreveremos $\angle ABC = \angle DEF$. Alguns livros denotam isso por $\angle ABC \cong \angle DEF$.

Grau

Do mesmo jeito que medimos distâncias utilizando metros e tempo utilizando segundos, podemos medir os ângulos usando grau.

Imagine que dividimos um círculo em $360$ partes iguais (igual a uma pizza, só que ao invés de $8$ pedaços, temos $360$).

Se dermos um zoom na figura, iremos ver os pedaços com muito mais clareza:

Cada um dos pedaços é $1$ grau.

Em outras palavras, um grau corresponde a $\frac{1}{360}$ de um círculo. Desta forma, uma volta inteira tem $360$ graus.

E por que $360$? Essa ideia surgiu na Babilônia. Lá, ao invés de usarem $10$ dígitos para escrever os números, eles usavam $60$. Alguns dizem que eles foram influenciados pela astronomia (afinal, um ano possui aproximadamente $360$ dias). Outros afirmam que $360$ é um bom número, pois é divisível por $1,2,3,4,5,6,8,10,\cdots$. Por isso, podemos falar sobre $\frac{1}{3}$ de volta ou $\frac{1}{4}$ sem precisar trabalhar com decimais.

A medida de um ângulo nos diz o quão aberto ele está. Por exemplo, o ângulo a seguir possui $30$ graus (que geralmente é escrito como $30^{\circ}$):

Isso significa que cabem $30$ pedaços de $1$ grau nele:

Existem outras maneiras de medir ângulos. Quando você estiver estudando trigonometria, uma outra unidade de medida que irá aparecer é o radiano.

Classificação dos Ângulos

Um ângulo nulo é aquele que mede $0^{\circ}$. Ele é formado por duas semirretas coincidentes. Na figura a seguir, o ângulo $\angle AOB$ é nulo.

Um ângulo é chamado de reto se sua medida for igual a $90^\circ$. É comum que, em ângulos de $90^\circ$, façamos uma bolinha dentro de um quadradinho, conforme a figura a seguir:

Um ângulo é agudo se ele mede menos de $90^\circ$ (e mais do que $0^{\circ}$).

Já quando sua medida for maior que $90^\circ$ e menor do que $180^{\circ}$, chamaremos ele de obtuso.

Se a medida de um ângulo for $180^{\circ}$, então ele é chamado de raso (ou ângulo de meia volta).

Dois ângulos são complementares se sua soma é igual a $90^\circ$. Neste caso, um é chamado de complemento do outro.

Além disso, dois ângulos são chamados de suplementares quando sua soma é igual a $180^{\circ}$. Aqui, um é chamado de suplemento do outro.

Ângulos Opostos Pelo Vértice

Na figura a seguir, os ângulos $\angle AOB$ e $\angle COD$ são opostos pelo vértice (OPV). O mesmo acontece para os ângulos $\angle AOC$ e $BOD$.

Ângulos opostos pelo vértice possuem mesma medida.

Definição

Se duas retas $r$ e $s$ formam quatro ângulos de $90^\circ$ cada, diremos que elas são perpendiculares (no plano ainda podemos chamá-las de ortogonais). Neste caso, escreveremos $r \perp s$.

Também podemos falar sobre duas semirretas perpendiculares ou dois segmentos de reta perpendiculares. A definição será a mesma.

Definição

Sejam $A$ e $B$ pontos e $r$ uma reta. Se $B$ pertence a $r$ e $AB$ é perpendicular a $r$, dizemos que $B$ é o pé da perpendicular.

Retas Paralelas Cortadas Por Uma Transversal

Uma reta que corta duas retas paralelas é chamada de reta transversal.

Na figura a seguir, os pares de ângulos de mesma cor são chamados de ângulos correspondentes.

Por exemplo, compare os dois ângulos verdes. Se subirmos do ângulo debaixo para o de cima pela transversal, como a reta de cima possui a mesma inclinação que a debaixo (já que são paralelas), segue que o ângulo verde de cima tem a mesma medida que o ângulo verde debaixo. O mesmo raciocínio vale para todas as outras cores.

Se duas retas são paralelas, então ângulos correspondentes possuem mesma medida.

Se dois ângulos tiverem conforme uma das figuras a seguir, eles serão chamados de alternos internos:

Já se eles estiverem conforme uma das próximas figuras, eles são chamados de alternos externos:

Tanto pares de ângulos alternos internos quanto alternos externos possuem mesma medida.

Se dois ângulos tiverem conforme uma das figuras a seguir, eles serão chamados de colaterais internos:

Já se eles estiverem conforme uma das próximas figuras, eles são chamados de colaterais externos:

Em ambos os casos, os pares de ângulos colaterais (tanto internos quanto externos) são suplementares (ou seja, a soma deles é $180^{\circ}$).

Proposição

(a) Se tivermos um par de ângulos correspondentes e de mesma medida, então as retas são paralelas.

(b) Além disso, se tivermos pares de ângulos alternos internos (ou externos) e de mesma medida, então as retas são paralelas.

(c) Se tivermos pares de ângulos colaterais internos (ou externos) e de mesma medida, então as retas são paralelas.

Por isso, se uma figura tiver ângulos de mesma medida, é interessante procurarmos retas paralelas.

Um Caso Particular

Se $r$ e $s$ são perpendiculares a $t$, então $r$ e $s$ são paralelas.

Observação

Uma consequência desses fatos é a seguinte. Se tivermos dois ângulos $\angle ABC$ e $\angle DEF$ de forma que $AB$ e $BC$ sejam paralelos a $DE$ e $EF$, respectivamente, então $\angle ABC = \angle DEF$.

Definição (Distância entre Ponto e Reta)

Seja $P$ um ponto e $r$ uma reta (de modo que $P$ está sobre $r$). Se $Q$ é um ponto pertencente a $r$ tal que $PQ$ é perpendicular a $r$, então $PQ$ é a distância entre $P$ e $r$. Ela pode ser indicada por $d(P,r)$.

Proposição

As retas $r$ e $s$ são paralelas se, e somente se, todos os pontos de $r$ estão à mesma distância da reta $s$.

Definição

A bissetriz é uma semirreta que divide o ângulo em duas partes de mesma medida. Em outras palavras, a bissetriz de um ângulo $\angle AOB$ é uma semirreta $OC$ tal que $\angle AOC=\angle OCB$. Neste caso, dizemos que $OC$ bissecta o ângulo $\angle AOB$.

Proposição

A bissetriz de $\angle AOB$ é o conjunto dos pontos equidistantes a $OA$ e $OB$.

Proposição

Se $C$ pertence a bissetriz do ângulo $\angle AOB$ e $D$ e $E$ são pontos sobre $OA$ e $OB$ tais que $CD$ e $CE$ são perpendiculares a $OA$ e $OB$, respectivamente, então $OD=OE$.

Definição

A mediatriz de um segmento é uma reta que é perpendicular a ele e passa pelo seu ponto médio.

Em alguns lugares, a mediatriz de um segmento $AB$ é representada por $m_{AB}$.

Proposição

Para $A$ e $B$ pontos distintos, a mediatriz de $AB$ é o conjunto de todos os pontos equidistantes a $A$ e $B$. Em outras palavras, um ponto é equidistante de $A$ e $B$ se, e somente se, pertence a mediatriz $AB$.

Projeção Ortogonal de Um Ponto Sobre Uma Reta

Sejam $P$ e $Q$ pontos e $r$ uma reta tais que $Q$ pertence a $r$. Se $PQ$ é perpendicular a $r$, então $Q$ é a projeção ortogonal de $P$ sobre $r$.

Projeção Ortogonal de Um Segmento Sobre Uma Reta

Sejam $A$ e $B$ pontos e $r$ uma reta. Se $P$ e $Q$ são pontos sobre $r$ tais que $AP$ e $BQ$ são perpendiculares a $r$, então $PQ$ é a projeção ortogonal de $AB$ sobre $r$.

Vejamos o caso em que uma das extremidades pertence a reta. Sejam $A,P$ e $Q$ pontos tais que $P$ e $Q$ pertencem a $r$ e $AP$ é perpendicular a $r$. Então $QP$ é a projeção ortogonal de $AQ$ sobre $r$.

Páginas Relacionadas

- A página Como Resolver Problemas tem um seção só para discutir resolução de problemas de Geometria.

Lugares Para Estudar

• A aula do POTI - Nível 1: Arquivo:Aula 02 - Segmentos e Perímetros.pdf

Bibliografia

• BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. 11ª. ed. [S.l.]: SBM, 2012. 257 p.
• LIMA, Elon Lages. Medida e Forma em Geometria. 4ª. ed. [S.l.]: SBM, 2011. 93 p.
• RUSCZYK, Richard; PATRICK, David; BOPPANA, Ravi. Prealgebra: Art of Problem Solving. [S. l.]: AoPS Incorporated; F Fourth Printing Used edition, 2011. 608 p. ISBN 1934124214.