Em um triângulo, a medida de um lado é menor que a soma das medidas dos outros dois. Em outras palavras, seja um triângulo, com , e . Então .
Observação[]
Caso você queira ver que um triângulo exista, basta provar que o maior lado é menor do que a soma dos outros dois, ou seja, não precisa usar a desigualdade triangular para os três lados.
Consequência[]
Se e são pontos quaisquer, então . A igualdade vale se, e somente se, pertence ao segmento .
Mais ainda, o menor caminho entre dois pontos é uma reta.
Quando Dá Para Construir Triângulos?[]
Se e são números reais positivos com e , então podemos construir um triângulo cujos lados são e .
Exemplo[]
Considere um triângulo de lados , e (com e inteiros positivos). Prove que .
Solução: Existem três possíveis desigualdades triangulares que podemos usar aí:
.
Agora observe que a primeira igualdade não nos diz nada de importante: afinal, se dois números são inteiros positivos, a soma deles será maior do que . Vamos mexer nas duas desigualdades debaixo. Observe na segunda desigualdade o aparece sozinho, enquanto na terceira não. Podemos tentar arrumar isso:
As duas desigualdades combinadas se tornam:
O único inteiro positivo menor do que e maior do que é o próprio . Desta forma, .
Exemplo[]
Seja um quadrilátero convexo. Prove que
Solução: Considere o ponto de intersecção entre e . Se aplicarmos a desigualdade triangular nos triângulos e :
Ao somarmos estas duas e notarmos que e ,
Observação[]
Antes de provarmos a desigualdade triangular, precisamos conhecer um resultado.
Proposição[]
O maior lado é aquele que está oposto ao maior ângulo (e vice-versa). Em outras palavras, seja um triângulo com , , e . Então se, e somente se, .
Prova: () O primeiro problema aqui é como podemos usar que . Uma possível maneira é: se , então um segmento de tamanho cabe em um segmento de tamanho . Por isso, vamos considerar em tal que . E o que ganhamos com isso? Agora conseguimos mais informações sobre os ângulos já que é um triângulo isósceles de base e assim .
Mas como podemos usar isso para encontrar uma desigualdade entre ângulos? Antes, vamos pensar no seguinte: será que conseguimos encontrar alguma desigualdade pela figura? Sim: é maior do , ou seja, é maior do que . Se conseguíssemos calcular em função de e , podemos nos aproximar na desigualdade desejada.
Lembre-se de uma coisa: se conhecemos uma medida em um triângulo isósceles, podemos encontrar as outras duas. E por que isso importa? Ora o ângulo faz parte de um triângulos isósceles . E a medida de pode ser calculada, afinal sabemos e . Como a soma dos ângulos internos do triângulo é :
Agora sim, podemos calcular . Vamos supor que sua medida seja . Então . Como a soma dos ângulos internos do triângulo é , segue que
Assim . Como é maior do que , podemos concluir que
() O que podemos fazer com ? Uma maneira de ver isso é entender que “cabe em” . Assim podemos tomar no segmento de forma que . Será que conseguimos mais informações para podermos mexer melhor com isso? Sim: notemos que e pelo Teorema do Ângulo Externo, .
Mas até agora só mexemos com ângulos e queremos provar algo sobre lados. Mas olha que interessante: encontrar mais ângulos nos ajuda a perceber que os triângulos e são semelhantes pelo caso . Com isso,
Mas como conseguir uma desigualdade que envolva e ? Observemos que . Desta forma, como e são positivos
Proposição (Desigualdade Triangular)[]
Seja um triângulo com , e . Então
Prova: O que sabemos sobre desigualdades e lados de triângulos? A proposição anterior nos diz que se um ângulo é maior do que o outro, o seu lado oposto é maior do que o outro. Será que podemos usar essa ideia aqui? Para fazer isso, precisaríamos de um triângulo de lados e . Será que conseguimos algo do tipo?
Vamos prolongar por até o ponto de forma que . Com essa construção, ganhamos o triângulo que tem lados e . Se provarmos que o ângulo oposto ao lado de medida (ou seja, ) é menor do que o ângulo oposto ao lado de medida (isto é, ), teremos provado a Desigualdade Triangular.
Observe que nessa construção, é um triângulo isósceles de base . Então . Com isso,
Como o maior lado se opõe ao maior ângulo, podemos concluir que .